最近給學生進行導數中的三角函數大題專項訓練，準備了九道題目，其中包含六道導數三角中的零點問題，三道恒成立求參問題，難度中等，适合對此類問題有一定熟練度的學生練手，很久之前給出過如下三期專項訓練，熟練掌握這些題目後，這種題型就可以放手了。

導數中與三角函數相關的大題訓練1

導數中與三角函數相關的大題訓練2

導數中與三角函數相關的大題訓練3

關于此類問題的解題注意事項可歸結為以下三個注意的點：

1. 注意函導數在所給定義域内特定點的值，例如端點值或使函數中參數消除掉的值。
2. 切分區間使得函數或一二階導函數的單調性能夠确定或者符号能夠确定，若使用二階導，最好保證二階導數在切分之後的區間上具有保号性，盡量避免三階導數。
3. 留意放縮法的使用，常規指對數放縮自然需要掌握，還需要留意三角函數本身具有的放縮形式，例如當x>0時，sinx<x<tanx，當|x|≤1時，cosx≤1-x^2/4,以及利用三角函數有界性判斷在某切分區間内的範圍。
4. 由于此類問題常用高階導數判斷原函數的趨勢，因此借助f''(x),f'(x),f(x)的三者的圖像更為直觀。

分析：第二問用到了類似于端點效應的思想，先确定定義域兩端點的值，可知f(0)=0,f(π)>0,f'(0)=0,以二階導在x=0的正負來确定參數的讨論情況，若二階導在x=0處大于等于0,則一階導數必有一段單增區間，原函數必有一段大于0的圖像，加之f(π)>0，若保證有一零點，則唯一的可能是存在唯一極小值等于0，由于對應的極值和極值點并不易求，這種情況根據f(x)本身的正負利用放縮來排除即可。

若f''(0)<0，此時滿足要求的函數圖像為先減後增，一階導的單調性和保号性都不能确定，二階導數在(π/2,π)上具有保号性，三階導函數在(0,π/2)上具有保号性，分類讨論即可。

分析：第一問f'(x)=e^x cosx sinx，考慮特殊點，f'(0)=0，因此隻需證明f'(x)單增即可，這裡用到了x≥sinx,|cosx|≤1

第二問根據第一問的結論可知當x≥0時g(x)的單調性，當x<0時g'(x)在(-3π/4,0)上具有單調性，當x<-3π/4這種大區間内不需要考慮單調性，根據指數和三角函數有界性确定此時g'(x)的保号性即可。

分析：依舊先考慮特殊值f(0)=0,一階導函數由于存在乘積的形式單調性不容易确定，由于存在參數a保号性也不容易确定，考慮二階導，二階導數依舊是乘積的形式，因此隻考慮保号性，當0<x<π/2時導函數單增，當π/2<x<π時導函數單減，此時f'(π/2)和f'(π)的符号确定，f'(0)=2-a符号不确定，讨論f'(0)的正負即可。

分析：第二問不含參，處理起來更容易一些，先考慮特殊點的值，g'(x)在(-π/2,π/2)上具有單調性，當x>π/2時，g'(x)也具有保号性，但是如果沒有給出參考數據e^(π/2)，則保号性不容易确定，可通過g''(x)的保号性來确定g'(x)的單調性。

分析：本題和第二題相似，特殊值點為h(0)=0,導函數的單調性比保号性更容易确定，當x>3π/4這種大區間時，用三角函數整體的有界性更容易判定導函數的保号性。

分析：g(x)為奇函數，隻需判定(0,2π)上的零點個數即可，至于下面解析中為什麼以π/2為區間分割點，是從二階導函數的保号性決定的，但在判斷函數在(0,π/2)上有無零點時下面是直接用放縮來證明，但這種放縮不建議使用，一階導函數在(π,2π)上具有保号性，二階導函數在(0,π/2)上具有保号性，三階導數在(π/2,π)上具有保号性，結合特殊點的符号判斷函數單調性即可。

分析：第一問判斷f'(x)變号零點的個數，一階導在(0,π/2)上具有單調性，二階導數在(-π,0)上雖然具有單調性，不具有保号性，可确定出f'(x)在(-π,0)上先減後增，且f'(-π)<0,f'(0)=0，因此f'(x)在此區間上具有保号性，将區間(-π,0)進一步拆分的步驟有無皆可。

第二問求參和第一題類似，g(x)滿足g(0)=0,g'(0)≠0,用g'(0)的正負作為參數的讨論依據，注意當m>0時g'(x)不單調，但可根據指數放縮确定g'(x)的符号，無需二階導。

分析：這個題目很有意思，第二問的答案可以直接猜出來，但常規證明過程卻不簡單，h(x)≤0恒成立，且h(0)=0,因此在原點右側必定存在一個單減區間，在原點左側必定存在一個單增區間，利用端點效應兩者可确定出滿足要求時的a值等于1/2,若寫步驟時根據h'(0)的正負确定出對參數的讨論情況，a>1/2和a=1/2時很容易證，當a<1/2時，二階導單減但符号不确定，隻需原點左側找出一個單減矛盾區間即可。

分析：做法依舊類似，觀察特殊點g(0)=0，根據g'(0)的正負确定出對參數的分類依據即可，題目更像是常規的端點效應解法。

綜上所有題目，無論是判斷零點個數還是根據零點個數求參，亦或是恒成立求參，對此類問題的處理方法大緻相同，根據保号性和單調性切分區間，再根據特殊點的值判斷每段區間上函數的單調性，其中也會用到常規放縮進行符号的判斷，相比于其他類型導數大題，這種題目雖更具複雜性，但難度上卻不如常規題型。

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