3九章算術 卷第一 方田——約分術

原文

[5]今有十八分之十二。問約之得幾何？

答曰：三分之二。

[6]又有九十一分之四十九。問約之得幾何？

答曰：十三分之七。

約分術曰：可半者半之，不可半者，副置①分母子之數，以少減多，更相減損，求其等②也。以等數約之。

注釋：

①副置：在旁邊布置算籌；

②等：“等數”的簡稱，指最大公約數。由輾轉相減至兩邊的差相等而得名

今譯：

[5]已知分數十八分之十二，約分後是多少？

答：三分之二。

[6] 已知分數 九十一分之四十九，約分後是多少？

答：十三分之七。

約分的方法是：如果分母、分子都是偶數，分别減去自身的一半（即：分别除以2）；如果分母、分子不全是偶數時，則在旁邊用算籌将分母、分子的數字重新表示出來，然後用大數減去小數，所得的差與之前的小數比較，再用較大數減去較小數，如此輾轉相減下去，一直到兩邊的差相等。這個相等的數就是最大公約數，最後用最大公約數去約簡分母與分子。

例如：第[6]題的解題過程是：

91與49最大公約數的求法過程

（此過程稱為：更相減損術，或稱輾轉相減法，或約分術）

所以：91與49的最大公約數是：7

評議：

這一講是《九章算術》的約分術，求解分數約分的問題。要約分，則須先找到分子、分母的最大公約數，而如何尋找最大公約數呢？古人創造性地發明了新方法——更相減損術（今稱：輾轉相減法）。讀完此節，筆者感慨良多，祖先的智慧真是遠超我們的想象。

1、“更相減損術”是中國古代求解最大公約數的一個偉大創舉，此種方法簡單、實用、有效、快捷！

小學時學過“短除法”求解兩數的最大公約數，大學時學過“輾轉相除法”求解兩個多項式的最大公因式。學習《九章算術》（大約成書于公元1世紀）後才知道我國還有“輾轉相減法”求解兩數的最大公約數，雖然此種方法比“短除法”步驟多，但減法運算比除法運算簡單，而且不用考慮餘數的問題。在有限次作差後，可以得到最大公約數。這種方法的優越性立馬顯現出來，其簡單、實用、有效、快捷的優點，促使學習者很快就能掌握。

此種方法與歐幾裡得《幾何原本》（大約成書于公元前300年）卷7第1題的“輾轉相減法”思路相同。受當時生産力低下，社會發展緩慢和地域的限制，東西兩種古老文明地交流幾乎為零，我們可以确信兩種文明創造的求解最大公約數的方法系各自獨創。

今天我們學習的“輾轉相除法”其實是在“輾轉相減法”的基礎上發展而來。

2、感歎古人追求數學“簡潔”的美。

劉徽在注釋“約分”時提到“繁則難用”，并舉了例子，四分之二，“繁而言之”為“八分之四”，“約而言之”為“二分之一”。三個數雖然表示的形式不同，但結果是一樣的。

由此可以看出古人在“化繁為簡”的過程中，追求的是數學“簡單、簡潔”的美，這和世界數學史發展中追求“簡潔”的美是一緻的。這種“美”不僅有實用的簡單，形式的簡潔，更有内在數學思想的簡便。

3、感歎古人講究“分類與化歸”的數學思想方法。

約分術中提到了兩種情況：分子分母均為偶數和不全為偶數的兩種情況，并對不同的情況采取不同的方法。如果均為偶數則分别除以2，如果不全為偶數而采用轉化的方法，運用“更相減損術”求出最大公約數，再約分。

整個過程，可以看出古人已經非常熟練地運用了“分類”與“化歸”的數學思想方法，其中數學思路的清楚程度着實讓我們驚歎！

4、原來“先易後難，從簡到繁，循序漸進”的教學和學習方法古已有之，我們一直在繼承與發展。

題[5]的分數約分，其數字在“九九表”中，可以通過九九乘法口訣很快地找到最大公約數，而題[6]的分數約分，其數字不在是“九九表”中，相對來說是較複雜的。這正好體現了我們的數學教學和學習的方法：先易後難，從簡到繁，循序漸進。

我們經常教育孩子學習要先易後難，循序漸進。不成想，我們一直在謹遵祖訓，繼承發揚着這麼好的樸實的教學和學習方法。

5、翻譯“以少減多”的困惑與釋然。

筆者在翻譯“以少減多”遇到了困惑，查閱錢寶琮、郭書春、肖作政、鄒湧等的譯注或編譯，均未對此短句進行深入解釋，一筆帶過。筆者通過上下文也能理解：是用大數減去小數。但按我們現在的語言習慣翻譯“以少減多”就是“用少減去多”，這不是得負數了嗎？不是産生了矛盾？

筆者思索一晚而不得結果（睡夢中還在想），将困惑說與老婆。老婆說“以少減多，就是以少的标準，從多中減去。多是被減數”，“相當于2除3，實際的意思是：3除以2”。一語被老婆點醒。

6、一點說明

至于“更相減損術”（輾轉相減法）的數學證明，在此不詳細叙述，有興趣的讀者可以進一步了解或自己證明。

參考文獻

1、肖作政編譯.《九章算術今解》.大連：遼甯人民出版社，1990

2、郭書春譯注.《九章算術譯注》.上海：上海古籍出版社，2009

4、錢寶琮點校.《算經十書》.北京：中華書局，2021

3、鄒湧譯解.《九章算術》.重慶：重慶出版社，2015

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!