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分形幾何學含義

生活更新时间:2024-10-06 02:16:42

1.何謂分形？

顧名思義，分形是對幾何圖形的局部細分，而這種細分可以無限進行。自然界的許多景物呈現出這種特點。例如椰菜花（圖1）、肺組織（圖2）。

分形幾何學含義（分形幾何探讨）1

圖1. 椰菜花

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圖2. 肺組織

對于日常生活中的直觀圖形，随着分形的不斷深入，圖形的總周長和面積将呈現何種趨勢？現以正三角形的分形為例進行探讨。

分形幾何學含義（分形幾何探讨）3

圖3. 正三角形的分形圖

對正三角形的各邊三等分，以中間一份的長度為邊長作新的正三角形。依次進行下去，對新增的正三角形各邊三等分，再以中間一份的長度為邊長向外“增生”新的正三角形。下面推導經過 n 次“增生”後，整個圖形的周長（實線部分）和面積。

設初始正三角形的邊長為a_0，周長和面積分别為p_0和A_0。顯然，經過第 k 輪“增生”後，周長有增有減，且增加的部分大于減少的部分，而面積隻增不減。設周長的（淨）增加值為Δp_k，面積的增加值為ΔA_k（k=1，2，......，n）。

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第一輪“增生”

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第二輪“增生”

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第 n 輪“增生”

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總周長為

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總面積為

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随着分形的無限深入，

分形幾何學含義（分形幾何探讨）10

可見，對于這種分形方式的無限進行，總周長和總面積均趨于有限值。

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