首先得聲明一下，此“集合”不是為了團滅敵軍，而是我們一起來談一談數學中的“集合”，這個“集合”不僅可以召集五個英雄，而且世間的萬事萬物均可置于其中！

“集合”這個詞我們并不陌生，在我們的語言習慣中它常是作為動詞被使用，意為使分散的人或事物聚集到一起．為什麼集合會有這樣的意思呢？從字形和字源的角度看，“集”是一個會意字，上面一個“隹”，下面一個“木”．其中“隹”字在《說文解字》中的解釋是：“隹，短尾鳥之總名也”，即隹是短尾鳥的總稱，這樣集字是否就表示鳥栖止在樹上呢？正是如此，《說文》中對“集”字的解釋便是：“集，群鳥在木上也”，所以“集”的本義即是鳥類在樹上栖息，引申一下就有了（鳥群）會合之義，如《詩經 周南 葛覃》中的“黃鳥于飛，集于灌木”，如此我們也不難理解“集”為什麼會有聚集的意思了，由這個字義也産生了許多成語，比如：集螢映雪，集腋成裘，悲喜交集，百感交集……而“合”字也有會聚、聚合的意思，如“天下大勢，分久必合，合久必分”，“集”與“合”放在一起自然會有使聚集的意思。

但在數學中，集合是康托爾的集合論的研究對象，是一個名詞．從它的樸素的含義中我們知道，集合表示由一些具有共同特征的對象所構成的整體．這裡我們再看一下“合”的字義，除了會合之外，“合”還有匹配，協調一緻，相符等含義，比如天作之合，情投意合，貌合神離，又比如太極拳的“内三合”：神與意合、意與氣合、氣與力合。憑着“合”字的這層含義，我們能否這樣理解集合——因合而集，是為集合。

01 集合論的誕生

集合論創始于偉大的19世紀的數學轉變，一個開始于分析的轉變。自從牛頓和萊布尼茲創立微積分以來，函數概念就已經不斷地從解析表達式被擴張到任意對應。經過柯西、維爾斯特拉斯、傅立葉、狄利克雷和黎曼，當時數學界的工作的重點圍繞任一函數是否能表示為三角級數的問題展開。從1870年開始，康托爾就開始發表一系列關于三角級數方面的論文。正是在研究三角級數的過程中，分析的基礎激起了康托爾對點集的興趣，并由此發現了超窮數。因此，集合論，至少部分是起源于黎曼等人對三角級數豐富的研究以及對不連續函數的分析。

康托爾最早是在他的同事海涅（E.Heine）的鼓動下開始研究三角級數的，最開始是研究黎曼在其1854年發表的論文《關于用三角級數表示函數的可能性》中提出一個一直未解決的有趣問題：給定一個函數，它的三角級數的表達式是否唯一？關于這個問題，對于一些特殊類型的函數，在某些假定下的唯一性已經解決，但是并不具有普遍性，而康托爾就是為了給出最有普遍性的解進行努力研究，并于1872年給出了唯一性定理的證明。在研究過程中，康托爾意識到無窮集合的重要性，在給出了唯一性定理最一般的證明後，康托爾開始研究離散和連續域兩者之間的區别，這是康巧爾走向建立獨立的集合理論的重要一步。到了1874年康托爾開始一般地提出“集合”的概念。他對集合所下的定義是：把若幹确定的有區别的（不論是具體的或抽象的）事物合并起來，看作一個整體，就稱為一個集合，其中各事物稱為該集合的元素。人們把康托爾于1873年12月7日給戴德金的信中最早提出集合論思想的那一天定為集合論誕生日。

02 集合論的發展

前蘇聯數學家柯爾莫戈洛夫評價康托爾的工作時說：“康托爾的不朽功績在于他向無窮的冒險邁進”。因而隻有當我們了解了康托爾在對無窮的研究中究竟做出了些什麼結論後才會真正明白他工作的價值之所在和衆多反對之聲之由來。數學與無窮有着不解之緣，但在研究無窮的道路上卻布滿了陷阱。因為這一原因，在數學發展的曆程中，數學家們始終以一種懷疑的眼光看待無窮，并盡可能回避這一概念。但試圖把握無限的康托爾卻勇敢地踏上了這條充滿陷阱的不歸路。他把無窮集這一詞彙引入數學，從而進入了一片未開墾的處女地，開辟出一個奇妙無比的新世界。對無窮集的研究使他打開了“無限”這一數學上的潘多拉盒子。“我們把全體自然數組成的集合簡稱作自然數集，用字母N來表示。”學過集合的所有人應該對這句話不會感到陌生。但在接受這句話時我們根本無法想到當年康托爾如此做時是在進行一項更新無窮觀念的工作。在此以前數學家們隻是把無限看作永遠在延伸着的，一種變化着成長着的東西來解釋。無限永遠處在構造中，永遠完成不了，是潛在的，而不是實在。這種關于無窮的觀念在數學上被稱為潛無限。十八世紀數學王子高斯就持這種觀點。用他的話說，就是“……我反對将無窮量作為一個實體，這在數學中是從來不允許的。所謂無窮，隻是一種說話的方式……”而當康托爾把全體自然數看作一個集合時，他是把無限的整體作為了一個構造完成了的東西，這樣他就肯定了作為完成整體的無窮，這種觀念在數學上稱為實無限思想。由于潛無限思想在微積分的基礎重建中已經獲得了全面勝利，康托爾的實無限思想在當時遭到一些數學家的批評與攻擊是無足為怪的。然而康托爾并未就此止步，他以完全前所未有的方式，繼續正面探讨無窮。他在實無限觀念基礎上進一步得出一系列結論，創立了令人振奮的、意義十分深遠的理論。這一理論使人們真正進入了一個難以捉摸的奇特的無限世界。最能顯示出他獨創性的是他對無窮集元素個數問題的研究。他提出用一一對應準則來比較無窮集元素的個數。他把元素間能建立一一對應的集合稱為個數相同，用他自己的概念是等勢。由于一個無窮集可以與它的真子集建立一一對應關系，也就是說無窮集可以與它的真子集等勢，即具有相同的個數。這與傳統觀念“全體大于部分”相矛盾。而康托爾認為這恰恰是無窮集的特征。在此意義上，自然數集與正偶數集具有了相同的個數，他将其稱為可數集。又可容易地證明有理數集與自然數集等勢，因而有理數集也是可數集。後來當他又證明了代數數集合也是可數集時，一個很自然的想法是無窮集是清一色的，都是可數集。但出乎意料的是，他在1873年證明了實數集的勢大于自然數集。這不但意味着無理數遠遠多于有理數，而且顯然龐大的代數數與超越數相比而言也隻成了滄海一粟，如同有人描述的那樣：“點綴在平面上的代數數猶如夜空中的繁星；而沉沉的夜空則由超越數構成。”而當他得出這一結論時，人們所能找到的超越數尚僅有一兩個而已。這是何等令人震驚的結果！然而，事情并未終結。魔盒一經打開就無法再合上，盒中所釋放出的也不再限于可數集這一個無窮數的怪物。從上述結論中康托爾意識到無窮集之間存在着差别，有着不同的數量級，可分為不同的層次。他所要做的下一步工作是證明在所有的無窮集之間還存在着無窮多個層次。他取得了成功，并且根據無窮性有無窮種的學說，對各種不同的無窮大建立了一個完整的序列，他稱為“超限數”。他用希伯萊字母表中第一個字母“阿列夫”來表示超限數的精靈，最終他建立了關于無限的所謂阿列夫譜系，它可以無限延長下去。就這樣他創造了一種新的超限數理論，描繪出一幅無限王國的完整圖景。可以想見這種至今讓我們還感到有些異想天開的結論在當時會如何震動數學家們的心靈了。毫不誇張地講，康托爾的關于無窮的這些理論，引起了反對派的不絕于耳的喧嚣。他們大叫大喊地反對他的理論。有人嘲笑集合論是一種“疾病”，有人嘲諷超限數是“霧中之霧”，稱“康托爾走進了超限數的地獄”。作為對傳統觀念的一次大革新，由于他開創了一片全新的領域，提出又回答了前人不曾想到的問題，他的理論受到激烈地批駁是正常的。當回頭看這段曆史時，或許我們可以把對他的反對看作是對他真正具有獨創性成果的一種褒揚吧。公理化集合論的建立，集合論提出伊始，曾遭到許多數學家的激烈反對，康托爾本人一度成為這一激烈論争的犧牲品。在猛烈的攻擊下與過度的用腦思考中，他得了精神分裂症。

格奧爾格·康托爾 (Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp，1845.3.3-1918.1.6) 德國數學家，集合論的創始人。

然而集合論前後經曆二十餘年，最終獲得了世界公認。到二十世紀初集合論已得到數學家們的贊同。數學家們為一切數學成果都可建立在集合論基礎上的前景而陶醉了。他們樂觀地認為從算術公理系統出發，借助集合論的概念，便可以建造起整個數學的大廈。

在1900年第二次國際數學大會上，著名數學家龐加萊就曾興高采烈地宣布“……數學已被算術化了。今天，我們可以說絕對的嚴格已經達到了。”然而這種自得的情緒并沒能持續多久。不久，集合論是有漏洞的消息迅速傳遍了數學界。這就是1902年羅素得出的羅素悖論。

羅素構造了一個所有不屬于自身（即不包含自身作為元素）的集合R。現在問R是否屬于R？如果R屬于R，則R滿足R的定義，因此R不應屬于自身，即R不屬于R；另一方面，如果R不屬于R，則R不滿足R的定義，因此R應屬于自身，即R屬于R。這樣，不論何種情況都存在着矛盾。

這一僅涉及集合與屬于兩個最基本概念的悖論如此簡單明了以緻根本留不下為集合論漏洞辯解的餘地。絕對嚴密的數學陷入了自相矛盾之中。這就是數學史上的第三次數學危機。危機産生後，衆多數學家投入到解決危機的工作中去。

1908年，策梅羅提出公理化集合論，後經改進形成無矛盾的集合論公理系統，簡稱ZF公理系統。原本直觀的集合概念被建立在嚴格的公理基礎之上，從而避免了悖論的出現。這就是集合論發展的第二個階段：公理化集合論。

與此相對應，在1908年以前由康托爾創立的集合論被稱為樸素集合論。公理化集合論是對樸素集合論的嚴格處理。它保留了樸素集合論的有價值的成果并消除了其可能存在的悖論，因而較圓滿地解決了第三次數學危機。

公理化集合論的建立，标志着著名數學家希耳伯特所表述的一種激情的勝利，他大聲疾呼：沒有人能把我們從康托爾為我們創造的樂園中趕出去。從康托爾提出集合論至今，時間已經過去了一百多年，在這一段時間裡，數學又發生了極其巨大的變化，包括對上述經典集合論作出進一步發展的模糊集合論的出現等等。而這一切都是與康托爾的開拓性工作分不開的。因而當現在回頭去看康托爾的貢獻時，我們仍然可以引用當時著名數學家對他的集合論的評價：“它是對無限最深刻的洞察，它是數學天才的最優秀作品，是人類純智力活動的最高成就之一。康托爾的無窮集合論是過去兩千五百年中對數學的最令人不安的獨創性貢獻。”

03 集合的概念

把指定的具有某種性質的事物看作一個整體，就是一個集合（簡稱集），其中每個事物叫做該集合的元素（簡稱元），給定的集合，它的元素必須是确定的，即任何一個事物是否屬于這個集合，是明确的。如“學習成績好的同學”不能構成一個集合，因為構成它的元素是不确定的；而“語文和數學的平均成績在90分及以上的同學”就是一個集合。一個給定集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不重複出現。隻要兩個集合的元素完全相同，就說這兩個集合相等。

集合的表示法一般用列舉法和描述法。列舉法就是把集合的元素一一列舉出來，并用花括号“｛｝”括起來表示集合的方法。描述法就是在花括号内寫出規定這個集合元素的特定性質來表示集合的方法。列舉法的局限性在于當集合的元素過多或者有無限多個時，很難把所有的元素一一列舉出來，這時描述法便體現出了優越性。此外，有時也能夠用封閉的曲線（維恩圖）來直觀地表示集合及集合間的關系，曲線的内部表示集合的所有元素。

對應是兩個集合之間元素（這種元素不一定是數）的一對一的對應，也就是說集合Ａ中的任一元素a，在集合Ｂ中都有唯一的元素b與之對應；并且在集合Ｂ中的任一元素b，在集合Ａ中也有唯一的元素a與之對應。數集之間能夠建立一一對應，如正奇數集合和正偶數集合之間的元素能夠建立一一對應。其他集合之間也能夠建立一一對應，如五（1）班有25個男生，25個女生，如果把男生和女生各自看成一個集合，那麼這兩個集合之間能夠建立一一對應；再如，中國、美國、俄羅斯、英國、法國、德國作為一個集合，北京、華盛頓、莫斯科、倫敦、巴黎、柏林作為一個集合，這兩個集合之間也能夠建立一一對應。

04 集合論中的思想

整體思想

從集合的樸素含義來看，集合本質上是我們假定的一個整體，這其實就是整體思想的體現——當面對衆多的研究對象茫茫然毫無頭緒時，在某個瞬間我們敏銳地捕捉到了這些對象所具有的共同特征，從而将其看成一個整體，一個集合就這樣誕生了。

如果我們的研究對象是數或是（直角坐标系上的）點，那它們所構成的集合就是數集或點集。假如放眼數學之外，我們可以說由詩構成的集合就是詩集，由小說構成的集合就是小說集，由歌曲構成的集合就是音樂專輯，由士兵構成的集合就是軍隊……

分級思想

同一些元素，若從不同的角度去看，可能具有不止一種共同特征，進而則分屬于不同的集合，如：1,3,5,7，它們既屬于奇數集，又屬于整數集，當然也屬于有理數集……

而一個集合，若從更高的層面上看，可能成為另一個集合中的元素。比如：整數集是由所有的整數構成的集合，在同一層面上與之對立的是分數集，而整數和分數都可以精确地表示成兩個整數的比，這是它們具有的共同特征，因而又可以把它們看作一個整體，即構成一個新的集合——有理數集，這時整數集和分數集就是作為有理數集中的元素存在的。由此我們不難生出“分級”的觀念，可以認為有理數集的級别要比整數集要高。

同樣，在有理數集這個層面上，與之對立的是無理數集，若從更高的層面上看，它們又都是實數集中的元素。而實數集又和虛數集共同構成了新的集合——複數集。至此，我們已經得到了在傳統觀念下最高級别的數集。在我們眼前俨然出現一個等級森嚴的數字王國，複數就是這個封建國度的君王。

這是集合中分級思想的體現。類似的例子還有，比如我們熟悉的生物的分類等級：域、界、門、綱、目、科、屬、種……

數形結合思想

數與形是數學中的兩個最古老又最基本的研究對象，數代表抽象的數學語言，形則表示具體的幾何圖形，前者精确，而後者直觀。所謂數形結合即是将數與形有機地結合起來，“以形助數”或“以數解形”。這是抽象思維與形象思維的結合，化抽象為具體，或化具體為抽象，可使複雜問題簡單化，從而優化解題路徑．在集合中，我們常用數形結合解決涉及集合間的關系及運算的問題。

正難則反思想

有這樣一則故事：一位農夫請了物理學家、工程師和數學家來，想用最少的籬笆圍出最大的面積．工程師用籬笆圍出一個圓，宣稱這是最優設計；物理學家将籬笆拉成一條直線，假設籬笆有無限長，認為圍起來半個地球總夠大了；數學家一聲不響地用很少的籬笆把自己圍起來，說道：“我現在是在外面”。

這個故事很好地體現了“正難則反”的思想．人們習慣的思維方式是正向思維，即從條件入手，進行正面的推導和論證，使問題得到解決．但有些數學問題，若直接從正面分析，可能思路受阻，或者即使有思路，實施起來卻也困難重重，這時不妨突破思維定勢而從反面入手，則可能出其不意，收獲奇效。

05 集合論及集合的意義

集合論是現代數學中重要的基礎理論。它的概念和方法已經滲透到代數、拓撲和分析等數學分支以及物理學等一些自然科學領域，為這些學科提供了基礎的方法。如果沒有集合論的觀點，很難對現代數學獲得一個深刻的理解。集合論的創立不僅對數學基礎的研究有重要意義，對現代數學的發展也有深遠的影響。

康托爾一生深受磨難。他及其集合論受到攻擊長達十餘年。他雖一度對數學失去興趣，轉向哲學、文學，但始終不放棄集合論。康托爾不顧衆多數學家、哲學家的反對，堅定捍衛無窮集合論，與他的科學家氣質和性格是分不開的。康托爾的個性形成很大程度上受他父親的影響。這種堅定、樂觀的信念使康托爾義無返顧地走向數學家之路并取得了成功。

這首先是被集合論的建立者康托爾證明的.

今天集合論已成為整個數學大廈的基礎，康托爾也因此成為上世紀之交的最偉大的數學家之一。

集合理論是數學的理論基礎，從集合論的角度研究數學，便于從整體和部分及二者的關系上研究數學各個領域的知識。如數系的擴展，從自然數到整數，再到有理數、無理數和實數，都能夠從集合的角度來描述。有時用集合語言來表述相關概念更為簡潔，如全體偶數的集合可表示為｛x|x＝2k，k∈Z｝。集合溝通了代數（數）和幾何之間的關系，如y = kx，既是正比例函數，又能夠表示一條直線；也就是說在平面直角坐标系上，這條直線是由滿足y = kx的有序實數對所組成的點的集合。用集合圖描述概念的分類及概念之間的關系，往往層次分明、直觀清晰，如四邊形的分類能夠用維恩圖表示。

結 語

康托爾的集合論是數學史上最具革命性和創造性的理論，他處理了數學上最棘手的對象——無窮集合，讓無數因“無窮”而困擾許久的數學家們在這種神奇的數學世界找回了自己的精神家園。集合論是現代數學中重要的基礎理論。它的概念和方法已經滲透到代數、拓撲和分析等許多數學分支以及物理學和質點力學等一些自然科學學科，為這些學科提供了奠基的方法，改變了這些學科的面貌。幾乎可以說，如果沒有集合論的觀點，很難對現代數學獲得一個深刻的理解。所以集合論的創立不僅對數學基礎的研究有重要意義，而且對現代數學的發展也有深遠的影響。

請求集合！

First blood！

Double kill！

Triple kill！

Quadra kill！

Penta kill！

Aced！

Victory！

學完收工……

· · · 圖 書 推 薦 · · ·

《基礎集合論》

作者 ：董延闿

本書作者向讀者系統地介紹了集合論最基本的理論，為學習數學各分支打下了理論的根基。它是按公理化精神編寫的，但不過多地追求形式化。所以，它不是一本“公理集合論”，隻能算作“樸素集合論”，書中不涉及現代集合論中深入的課題，隻是講解集合論中基礎部分。為了使讀者易于理解，推證部分寫得比較詳細，并且對于較難懂的證明，還描述了證明的直覺想法。

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!