标題和作者

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4-2

4-3

4-4

特别收錄

幾何原本第二卷

命題12

在鈍角三角形中，鈍角所對邊上的正方形比夾鈍角的兩邊上的正方形之和大一個矩形的二倍，該矩形為鈍角的一邊向外延長并作垂線，垂足所在的鈍角邊與垂足到鈍角頂點之間的直線所圍成的矩形。

In obtuse-angled triangles the square on the side subtending the obtuse angle is greater than the squares on the sides containing the obtuse angle by twice the rectangle contained by one of the sides about the obtuse angle, namely that on which the perpendicular falls, and the straight line cut off outside by the perpendicular towards the obtuse angle.

圖片

［I. 47］

且AB上的正方形等于AD、DB上的正方形之和；

［I. 47］

因此，CB上的正方形等于CA、AB上的正方形之和加上CA、AD所圍成矩形的二倍；

因此，CB上的正方形比CA、AB上的正方形之和大CA、AD所圍成矩形的二倍。

這就是所要證明的。

命題13

在銳角三角形中，銳角對邊上的正方形比夾銳角兩邊上的正方形之和小一個矩形的二倍，該矩形為另一銳角向對邊作垂線，垂足所在的銳角邊與垂足到原銳角頂點之間的直線所圍成的矩形。

In acute-angled triangles the square on the side subtending the acute angle is less than the squares on the sides containing the acute angle by twice the rectangle contained by one of the sides about the acute angle, namely that on which the perpendicular falls, and the straight line cut off within by the perpendicular towards the acute angle.

圖片

設ABC是一個銳角三角形，B處的角為銳角，從點A作AD垂直于BC；

我說，AC上的正方形比CB、BA上的正方形之和小CB、BD所圍成矩形的二倍。

這是因為，由于直線CB被任截于點D，所以CB、BD上的正方形之和等于CB、BD所圍成矩形的二倍與DC上的正方形之和。

［II. 7］

給它們分别加上DA上的正方形；

因此，CB、BD、DA上的正方形之和等于CB、BD所圍成矩形的二倍加上AD、DC上的正方形之和。

但AB上的正方形等于BD、DA上的正方形之和，這是因為D處的角是直角；

［I. 47］

而AC上的正方形等于AD、DC上的正方形之和；

因此，CB、BA上的正方形之和等于AC上的正方形加上矩形CB、BD的二倍。

于是，AC上的正方形比CB、BA上的正方形之和小CB、BD所圍成矩形的二倍。

這就是所要證明的。

注釋：

以上内容的來源請看下圖

封面圖

我們知道，三角形分為三大類：銳角三角形，直角三角形和鈍角三角形。幾何原本按照分類讨論的數學思想，命題12讨論鈍角三角形的餘弦定理，命題13讨論銳角三角形的餘弦定理。對于直角三角形而言，勾股定理是餘弦定理的特例。對于一般三角形而言，餘弦定理是勾股定理的推廣和一般化。

我們知道，角θ在第一象限時，餘弦值為正，在第二象限時，餘弦值為負，且互補角的餘弦值互為相反數。即：

cos θ=－cos（π－θ）

由此看出

c²=a² b²－2ab cos C

公式中的2ab cos C這一項何時取正号“ ”，何時取負号“－”。

當角C為鈍角時，第二象限的餘弦值為負，負負得正，公式中的2ab cos C這一項取正号“ ”，即

c²=a² b² 2ab cos C；

當角C為銳角時，第一象限的餘弦值為正，公式中的2ab cos C這一項取負号“－”，即

c²=a² b²－2ab cos C

我們把三角形畫出來時，憑對面積的直覺也能夠判斷出這一項的正負号。

詳情請看下圖：

圖說餘弦定理

再看公式c²=a² b²－2ab cos C，

上圖所示的矩形面積為aq，可不可以畫成平行四邊形，面積不變，仍然是aq？

當然可以，可以這樣畫圖：

畫兩個平行四邊形，鄰邊分别是a和b，以a為底邊，旋轉b，把矩形調整為合适的平行四邊形，高恰好是q，就行了。

那麼，q和b是什麼關系呢？

可以這樣理解，b在a這條邊上的射影就是q。

再補充兩張圖。

用托勒密定理推導餘弦定理

餘弦定理是三角形邊角關系的重要定理，請大家一定要掌握，并徹底吃透。

科學尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。

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