編撰：茂喵喵

審核：貓頭鷹

現代數學中，雖然還是存在許多未解決的難題，諸如哥德巴赫猜想，諸如黎曼猜想，還有NP難問題等，但是也正是在解決這些人類遇到的難題的過程中，我們建立起了龐大的、逐漸完美的數學體系，這是一條很艱辛的道路，其艱辛程度，舉個例子，就從費馬大定理的證明過程耗時300多年，也可窺見一斑。然而比起曾經差點摧毀了數學大廈的三次數學危機，這樣的障礙頂多也是小巫見大巫。所謂數學危機，就是某一重大問題的出現，危及到人們已經建立的數學體系，使得人們費盡心思仍然惶惶不可終日。至今為止，這樣的問題已經出現過三次，并且并沒有任何證據說這樣的危機不再出現，所以，我輩數學人仍然需要居安思危，勵精圖治。今天，我們先來看看已經發生過的三次數學危機。

第一次數學危機

第一次數學危機發生于公元前五世紀的古希臘，當時以畢達哥拉斯為主的數學家們建立了以“萬物皆數”為基石的“畢達哥拉斯學派”，該學派堅信：一切數均可以表示成整數或者整數之比。從現代數學的角度說就是：數隻有有理數。

然而，幾乎粉碎這座數學大廈的，也是該學派的成員——希巴斯。這要說到畢達哥拉斯定理，也就是我們通常所說的：勾股定理。在提出了該定理之後，學派中的一個成員就提出一個問題：邊長為1的正方形，其對角線的長度是多少？如果是放在現代，我們很快就可以得出結論：√2.可是，當時在利用畢達哥拉斯定理求解時，所得出的數既不能表示為整數，也不能表示為整數之比，而隻能用一個他們都未曾見過的新數來表示。希巴斯的這個發現，促成了新數√2的誕生，同時也正是這個小小的√2動搖了當時的畢達哥拉斯學派的信仰，也是對當時的希臘人的一個沉重打擊。這就導緻了當時人們在認識上的危機，從而引發了西方數學史上的一次大風波，所以稱為“第一次數學危機”。

第二次數學危機

第二次數學危機大約發生于公元十七世紀，當時由牛頓與萊布尼茨同時發明了微積分這一強有力的數學工具，使得當時的許多難題通過運用該工具很容易就解決了，就會感覺是窮人家突然得到一個寶貝，怎麼能不奉為至寶呢？但是，當時的微積分體系并不完善，主要原因是：盡管他們兩個人的理論都是建立在無窮小量分析上，但是他們兩個人對無窮小量的理解卻極其混亂，因而，人們對于微積分這一重要工具的非難與攻讦也就層出不窮，一度幾乎使人們放棄這一建造起現代數學體系最重要的理論。直到柯西用極限的方法，定義了無窮小量之後，微積分理論才算是正式成型。

第三次數學危機

第三次數學危機與康托爾創立的集合論有關。十九世紀下半葉，康托創立集合論，該理論一經問世，就被給予高度贊譽。而數學家們也同時發現，通過集合論，可以構造整個數學大廈，一切數學結論都可以建立在集合論的基礎之上，在當時，這樣的理論對于所有數學家來說，都是極其令人興奮的。然而好景不長，英國數學家羅素構造了這樣一個集合S，該集合是由一切不是自身的元素所組成，問題是：該集合包含它自身嗎？這個問題使得集合論陷入兩難境地：因為如果S屬于S，根據S的定義，S就不屬于S；反之，如果S不屬于S，同樣根據定義，S就屬于S。無論如何都是矛盾的。而這也就引發了第三次數學危機，應該說是集合論的危機。而解決該危機的辦法，就是建立一套公理化體系，設定一些原則，來對集合給一個嚴格的限制。這樣的系統現在常用的是ZF系統，從而完善了康托的樸素集合論。

雖然數學史上曾發生了這三次數學危機，但是也正是危機的産生，帶來了新的數學知識，使得人們更加深入的了解了數學，所謂機遇深藏于危機，大約如此。而我們目前的數學體系中，或許也有許多不完美或者應該說不完備的地方，就期待諸位有志之士去發現并且解決了！

今天的科普分享就到此結束。

下期預告：數學史（4）：畢達哥拉斯定理的幾種常見證明方法

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