這是圖解數學的第3期。

圖解數學」系列介紹

「圖解數學」系列用學生看起來最為直觀的圖形，載12期，來解SAT/ACT/AMC8平面幾何的考點，并提供中英文對照。

本期要點：

1.三角形中的世界

2.等腰三角形基本性質

3.等邊三角形基本性質

4.用技巧快速計算

“尼羅河下遊，散布着約80座金字塔遺迹：它們大小不一，最高大的是胡夫金字塔，石塊之間沒有任何黏着物，靠石塊的相互疊壓和咬合壘成。埃及金字塔是古埃及的法老陵墓。世界八大建築奇迹之一。”

金字塔的莊嚴感和穩定性，來自于各面都是等腰三角形，有的還接近于等邊三角形。

三角形是數學中最常研究到的圖形，沒有之一，因為無論是在初中數學、高中數學還是數學競賽中，幾何部分都離不開它。

任意三角形畫一個三角形，三邊很可能都不相等，我們把它叫做不等邊三角形 (scalene triangle) ，這種三角形邊長和角度的計算較為複雜，咱們以後再講。如果一個三角形有兩條邊相等了，叫做等腰三角形 (isoceles triangle) ,如果恰巧三條邊都相等了，叫做等邊三角形 (equilateral triangle) 。

咱們今天就講等腰三角形和等邊三角形。

等腰三角形兩條相等的邊叫做腰，相等兩個邊的夾角叫做頂角 (vertex angle)，另外一條邊叫做底 (base)。如果我們把腰長記為 m ，底邊長記為 n （如下圖），三角形的周長就能算出來是 2m n ，但是它的面積面積怎麼算呢？下面我就來介紹已知腰長和底邊長，求面積的方法。

首先要知道等腰三角形一個重要性質：等腰三角形三線合一，即頂角角平分線 (angle bisector) 、底邊中線 (median) 和 底邊上的高線 (height) 是一條線。（如下圖）

“三線合一”這個重要性質一般是用全等三角形來證明，但咱們還沒講到全等三角形。我就說個更直觀更快速的證明：因為等腰三角形是對稱圖形，并且角平分線、中線和高都是對稱軸，所以它們是同一條線。

由“三線合一”的性質可以推出等邊對等角，即如果一個三角形兩邊長相等，那麼底角相等。等邊對等角的逆定理等角對等邊依然成立。

現在回到原來問題，因為底邊長 n 是已知數，想知道三角形面積咱們隻需要知道高是多少。

第一步，做一條高，根據三線合一，這條高同時也是底邊的中線；

第二步，用勾股定理算出高。

第三步，底乘高乘二分之一算出三角形面積。

3

當知道等腰三角形有一個角是60°時，無論已知的60°的角時底角還是頂角，都能推出這個三角形時等邊三角形（如下圖1，2）。下面我們來分别證明。

如圖1，若已知AB=AC，∠B=60°，則由等邊對等角推得∠C也等于60°，繼而∠A=180°-60°-60°=60°，再由等角對等邊，知三邊長都相等。

如圖2，若已知DE=DF，∠D=60°，則∠E ∠F=180°-60°=120°，又因為∠E=∠F，所以都等于60°，再由等角對等邊，知三邊長都相等。

以上兩個證明雖然不難，但往往是很多學生所缺乏的，他們覺得簡單的就不證了，難的又不會證，導緻數學學習中缺乏“證明”這項訓練。後果是，很多定理公式都不知道怎麼來的，于是就隻能死記硬背，學習沒有效率。

所以說平時看到公式定理，要試着證證，比如圖3：一個等邊三角形三邊長都是 a ，面積公式為什麼就是四分之根号三倍的 a 方呢？自己嘗試證明吧，知道這個公式能大大提高解題速度。

4

等腰三角形有“胖”、“瘦”之分

這個胖和瘦，是我為了直觀地說出它的特點而講的。

數學學習中存在的一個問題就是很多說法“太嚴謹”了，因為教數學的老師都是自小嚴謹地學出來的，剛才那句“胖瘦之分”就會被表述成“腰長一定的等腰三角形，頂角的大小決定底邊的長度”。

但這樣說出來不直觀，學生不易記憶。所以我在這個系列正文部分會多講些形象化的東西，嚴謹的定理放在“要點回顧”部分。

等腰三角形頂角常見的是這麼幾個特殊角：60°、90°和120°，這三種頂角對應的底邊長可以算出來具體數值。

如圖1，頂角是60°，則這個等腰三角形是等邊三角形。底邊長就是1。

如圖2，頂角是90°，則可以用勾股定理計算出底邊長為根号2 。

如圖3，頂角是120°，可以做條高，把底邊分為左右相等的兩部分，再加起來就是根号3。

第一個第二個好算，第三個在考試中現場推就會費點時間。我建議大家把它當性質記住：頂角為120°的等腰三角形，底邊長是腰長的根号三倍。

這個根号三又是怎麼記住的呢？如圖，我标的是根号下1、2、3，哈哈，1、2、3這個規律就好記了吧。

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好，今天你學習了《圖解數學》的第三講，了解等腰、等邊三角形，也學會計算等腰三角形面積和邊長的技巧。恭喜你，又解鎖了一個新章節。下次我們将學習内心與外心。

你可能還想學：圖解數學｜任意五角星内角和都是180°？怎麼證明？

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