有關多邊形周長和面積的題-tft每日頭條

有關多邊形周長和面積的題

生活更新时间:2024-07-29 09:07:35

π的視覺錯

一個有意思的發現：你周圍一定能找到一個喝水的大玻璃杯，憑着眼睛的觀察，可以判斷出玻璃杯的高度和周長哪個更長一些麼？

有關多邊形周長和面積的題（不用微積分改用洋蔥和千層餅來說明圓的面積公式）1

不少人和我一樣，都直覺地會認為高度大于周長。

但實際情況是周長大于高度。

這是一個有趣的π欺騙了人眼睛的事實。

有朋友還是心存疑慮，那麼可以找把軟尺進行測量

你說沒有尺子，那你伸出中指（别想歪了，我沒有那麼壞和無聊）和拇指，測一下杯子直徑。

一般來講杯子的高度不到直徑的3倍。

為什麼是拿3來說事情呢？

因為π的值大約是3.14，而周長也就是直徑的3倍多了。這樣去比較是比較直觀的。

有關多邊形周長和面積的題（不用微積分改用洋蔥和千層餅來說明圓的面積公式）2

視覺錯誤，人的眼睛在估算圓的周長時會出現這樣的錯誤。

在圓中，周長是直徑的2倍，而π的值竟然是和圓的大小無關的一個量。

來自于圓，值又和圓無關，天哪，圓養了一個不認自己的親兒子！圓肯定很生氣。

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用洋蔥、千層餅來證明圓的面積公式

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知道圓的周長後，一般就會有一個老師曾經讓我們一定要記下來的圓面積公式

有關多邊形周長和面積的題（不用微積分改用洋蔥和千層餅來說明圓的面積公式）6

當時大多數人朋友應該和我一樣，屬于死記硬背搞下來了，畢竟不怎麼複雜的公式。

如果當時老師給出一些這個公式成立的理由，也許會讓學習的效果會提升不少，也可能覺得數學會有意思很多。

這個公式不是需要微積分才能搞得明白它的證明麼？

不要微積分，試下說明圓的面積，還需要讓人信服！當然這些智慧不是來自于我，都是很多前輩們的努力和思考的結晶。我隻是把它們搬運來，将這個精彩呈現的給大家，希望大家能夠由此看出數學的魅力，能夠喜歡這個學科。

證明：下圖1示，把圓堪稱一系列同心環，如下圖按紅色的方向，從頂部向下切割這個圓，一直切至圓心處。

有關多邊形周長和面積的題（不用微積分改用洋蔥和千層餅來說明圓的面積公式）7

圖1

然後将它展開，形成一個類似三角形的圖形，如下圖2

有關多邊形周長和面積的題（不用微積分改用洋蔥和千層餅來說明圓的面積公式）8

圖2

上面這個三角形的底是（圓的周長），高是.随着同心環的數量不斷增加，切開的圓與三角形越來越接近。

所以圓的面積為：

有關多邊形周長和面積的題（不用微積分改用洋蔥和千層餅來說明圓的面積公式）9

該證明的方法是把圓看成一個洋蔥。

再給一種圓的面積公式的說明：是把圓看成一個千層餅

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有關多邊形周長和面積的題（不用微積分改用洋蔥和千層餅來說明圓的面積公式）11

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随着等分的數量不斷增加，每等分的形狀與高為r的三角形越來越接近，讓最後的圖形更像的矩形，因此圓的面積近似地得到為：

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