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必修一

一、集合

一、集合有關概念

集合的含義

集合的中元素的三個特性：

元素的确定性如：世界上的山

元素的互異性如：由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

3.集合的表示：{…}如：{我校的籃球隊員}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

用拉丁字母表示集合：A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

集合的表示方法：列舉法與描述法。

注意：常用數集及其記法：

非負整數集（即自然數集）記作：N

正整數集N*或N 整數集Z有理數集Q實數集R

列舉法：{a,b,c……}

描述法：将集合中的元素的公共屬性描述出來，寫在大括号内表示集合的方法。{x(R|x-3>2},{x|x-3>2}

語言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}

Venn圖:

4、集合的分類：

有限集含有有限個元素的集合

無限集含有無限個元素的集合

空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝

二、集合間的基本關系

1.“包含”關系—子集

注意：有兩種可能（1）A是B的一部分，；（2）A與B是同一集合。

反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

2．“相等”關系：A=B(5≥5，且5≤5，則5=5)

實例：設A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

即：①任何一個集合是它本身的子集。A(A

②真子集:如果A(B,且A(B那就說集合A是集合B的真子集，記作AB(或BA)

③如果A(B,B(C,那麼A(C

④如果A(B同時B(A那麼A=B

3.不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ

規定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

有n個元素的集合，含有2n個子集，2n-1個真子集

二、函數

1、函數定義域、值域求法綜合

2.、函數奇偶性與單調性問題的解題策略

3、恒成立問題的求解策略

4、反函數的幾種題型及方法

5、二次函數根的問題——一題多解

&指數函數y=a^x

a^a*a^b=a^a b(a>0,a、b屬于Q)

(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b屬于Q)

(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b屬于Q)

指數函數對稱規律：

1、函數y=a^x與y=a^-x關于y軸對稱

2、函數y=a^x與y=-a^x關于x軸對稱

3、函數y=a^x與y=-a^-x關于坐标原點對稱

&對數函數y=loga^x

如果，且，，，那麼：

·＋；

－；

．

注意：換底公式

（，且；，且；）．

幂函數y=x^a(a屬于R)

1、幂函數定義：一般地，形如的函數稱為幂函數，其中為常數．

2、幂函數性質歸納．

（1）所有的幂函數在（0， ∞）都有定義并且圖象都過點（1，1）；

（2）時，幂函數的圖象通過原點，并且在區間上是增函數．特别地，當時，幂函數的圖象下凸；當時，幂函數的圖象上凸；

（3）時，幂函數的圖象在區間上是減函數．在第一象限内，當從右邊趨向原點時，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．

方程的根與函數的零點

1、函數零點的概念：對于函數，把使成立的實數叫做函數的零點。

2、函數零點的意義：函數的零點就是方程實數根，亦即函數的圖象與軸交點的橫坐标。

即：方程有實數根函數的圖象與軸有交點函數有零點．

3、函數零點的求法：

（代數法）求方程的實數根；

（幾何法）對于不能用求根公式的方程，可以将它與函數的圖象聯系起來，并利用函數的性質找出零點．

4、二次函數的零點：

二次函數．

（1）△＞０，方程有兩不等實根，二次函數的圖象與軸有兩個交點，二次函數有兩個零點．

（2）△＝０，方程有兩相等實根，二次函數的圖象與軸有一個交點，二次函數有一個二重零點或二階零點．

（3）△＜０，方程無實根，二次函數的圖象與軸無交點，二次函數無零點．

三、平面向量

向量：既有大小，又有方向的量．

數量：隻有大小，沒有方向的量．

有向線段的三要素：起點、方向、長度．

零向量：長度為的向量．

單位向量：長度等于個單位的向量．

相等向量：長度相等且方向相同的向量

&向量的運算

加法運算

AB＋BC＝AC，這種計算法則叫做向量加法的三角形法則。

已知兩個從同一點O出發的兩個向量OA、OB，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OACB，則以O為起點的對角線OC就是向量OA、OB的和，這種計算法則叫做向量加法的平行四邊形法則。

對于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。

|a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法滿足所有的加法運算定律。

減法運算

與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向量。

（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。

數乘運算

實數λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作λa，|λa|＝|λ||a|，當λ>0時，λa的方向和a的方向相同，當λ<0時，λa的方向和a的方向相反，當λ=0時，λa=0。

設λ、μ是實數，那麼：（1）(λμ)a=λ(μa)（2）(λμ)a=λaμa（3）λ(a±b)=λa±λb（4）(－λ)a=－(λa)=λ(－a)。

向量的加法運算、減法運算、數乘運算統稱線性運算。

向量的數量積

已知兩個非零向量a、b，那麼|a||b|cosθ叫做a與b的數量積或内積，記作a?b，θ是a與b的夾角，|a|cosθ（|b|cosθ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量與任意向量的數量積為0。

a?b的幾何意義：數量積a?b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘積。

兩個向量的數量積等于它們對應坐标的乘積的和。

四、三角函數

1、善于用“1“巧解題

2、三角問題的非三角化解題策略

3、三角函數有界性求最值解題方法

4、三角函數向量綜合題例析

5、三角函數中的數學思想方法

五、立體幾何初步

1、柱、錐、台、球的結構特征

(1)棱柱：

定義：有兩個面互相平行，其餘各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的标準分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。

表示：用各頂點字母，如五棱柱或用對角線的端點字母，如五棱柱

幾何特征：兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側棱平行且相等;平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。

(2)棱錐

定義：有一個面是多邊形，其餘各面都是有一個公共頂點的三角形，由這些面所圍成的幾何體

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的标準分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等

表示：用各頂點字母，如五棱錐

幾何特征：側面、對角面都是三角形;平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點到截面距離與高的比的平方。

(3)棱台：

定義：用一個平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分

分類：以底面多邊形的邊數作為分類的标準分為三棱态、四棱台、五棱台等

表示：用各頂點字母，如五棱台

幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交于原棱錐的頂點

(4)圓柱：

定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉，其餘三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形。

(5)圓錐：

定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉軸，旋轉一周所成的曲面所圍成的幾何體

幾何特征：①底面是一個圓;②母線交于圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形。

(6)圓台：

定義：用一個平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分

幾何特征：①上下底面是兩個圓;②側面母線交于原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形。

(7)球體：

定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉軸，半圓面旋轉一周形成的幾何體

幾何特征：①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等于半徑。

2、空間幾何體的三視圖

定義三視圖：正視圖(光線從幾何體的前面向後面正投影);側視圖(從左向右)、俯視圖(從上向下)

注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關系，即反映了物體的高度和長度;

俯視圖反映了物體左右、前後的位置關系，即反映了物體的長度和寬度;

側視圖反映了物體上下、前後的位置關系，即反映了物體的高度和寬度。

3、空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法

斜二測畫法特點：①原來與x軸平行的線段仍然與x平行且長度不變;

②原來與y軸平行的線段仍然與y平行，長度為原來的一半。

六(1)指數函數的定義域為所有實數的集合，這裡的前提是a大于0，對于a不大于0的情況，則必然使得函數的定義域不存在連續的區間，因此我們不予考慮。

(2)指數函數的值域為大于0的實數集合。

(3)函數圖形都是下凹的。

(4)a大于1，則指數函數單調遞增;a小于1大于0，則為單調遞減的。

(5)可以看到一個顯然的規律，就是當a從0趨向于無窮大的過程中(當然不能等于0)，函數的曲線從分别接近于Y軸與X軸的正半軸的單調遞減函數的位置，趨向分别接近于Y軸的正半軸與X軸的負半軸的單調遞增函數的位置。其中水平直線y=1是從遞減到遞增的一個過渡位置。

(6)函數總是在某一個方向上無限趨向于X軸，永不相交。

(7)函數總是通過(0，1)這點。

(8)顯然指數函數*。

奇偶性

定義

一般地，對于函數f(x)

(1)如果對于函數定義域内的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那麼函數f(x)就叫做奇函數。

(2)如果對于函數定義域内的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那麼函數f(x)就叫做偶函數。

(3)如果對于函數定義域内的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)同時成立，那麼函數f(x)既是奇函數又是偶函數，稱為既奇又偶函數。

(4)如果對于函數定義域内的任意一個x，f(-x)=-f(x)與f(-x)=f(x)都不能成立，那麼函數f(x)既不是奇函數又不是偶函數，稱為非奇非偶函數。

今天的高中數學知識點就跟大家分享到這裡。

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