寫給小學生的：漫談數的發展

　　2018年7月18日星期三

　　我打算盡量用自己的語言和行文風格講述這些内容，因為這些内容并不鮮見。但不可回避的是，也會引用一些“教科書”式的語句，對于這些，您就當做不是“人話”，自行忽略。

　　數學是研究數量關系和空間形式的科學。（這句就是，呵呵）

　　九年義務教育，我們會接觸到18本數學課本，這些課本會帶領我們學習到以下四個方面的數學内容：

　　（1）數與代數；

　　（2）圖形與幾何；

　　（3）統計與概率；

　　（4）綜合與實踐。

　　說人話，（1）其實就是以前的《算術》與《代數》；（2）即《幾何》；（3）《統計》這個家夥無疑是新課程增加的大塊内容，它是與數據打交道的，與《組合學》、《概率學》關系密切，也許小學生隻需要記住“數據會說話”這句話就夠了；（4）指的是應用，你看高考都考 “文綜”、“理綜”的，長遠來看，這塊是能力與思維培養的廣闊場地，小學數學教材中的“數學廣角”、“數學活動”都是屬于這塊的。

人教版五年級數學下冊第8頁

　　如果按照數系擴張的時間順序“漫談”，我力不能及，這恐怕需要極強的數學史知識。我打算從數系從小到大擴張的過程談談。

　　自然數遇到加法是開心的，因為兩個自然數的和仍然是自然數。但遇到減法時，自然數開始有點“小沮喪”，因為此時一不小心就會出現1－2的情況。這是一隻什麼“鬼”？一度以來，人們都說這是題目出錯了，但總有個别“較真”的人是個例外，他們認為這種情況在數學邏輯上是說不通的，必須解決！您已知道，當規定1－2＝－1時，負數産生了。至此，0也有了新的意義：兩個相反數的和，比如：2＋（－2）＝0。據說，負數被人們廣泛承認直到17世紀，也就是說，負數的理論意義遠早于實際意義。現在，六年級數學會廣泛以“零下溫度”、“海平面以下負海拔”、“欠款、負債”等描述負數的意義。好的，減法讓自然數實現了華麗變身，擴展了一倍，變成了整數。整數的序列是：……－3、－2、－1、0、1、2、3……順道提一下，自然數用N表示，整數用Z表示。

　　也許聰明的你已經想到了，自然數或者整數，遇到乘法也是開心的。因為乘法一開始表示的是“求相同加數的和”，如：3＋3＋3＋3＋3＝3×5，看到乘法，就像看到了親兄弟——兩個整數（或自然數）的積也是整數（或自然數）。但是，當自然數或整數遇到除法時，又開始有點“郁悶”！6÷2＝3，這個多好！可是5÷2＝？，2÷3＝？這又會是什麼鬼？整數又被突破了，整數不夠用了！于是，産生了分數。分數的一般形式是：

公式顯示不了，均以圖片輸出，下同

這叫做“除法的結果可以用分數表示，即除數分之被除數”，也叫做“媽媽再也不用擔心我的除法了”。

　　公元前500年左右，古希臘的畢達哥拉斯學派正是基于分數提出了“數即萬物”的哲學思想。他們認為世間萬物不是用整數表示，就是用整數之比表示。或許，他們覺得分數之于宇宙萬物，達成了某種“和諧”：分數對于加減乘除四則運算封閉。

　　這位“畢大師”何許人也？就是發現了“畢達哥拉斯定理”的大神，在中國這個定理被稱做“勾股定理”。大意是說：直角三角形中，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。設勾a股b弦c，則有：

以後小朋友對“勾3股4弦5”的說法會耳熟能詳。

　　畢大師還有一個特殊身份，就是“古今中外學霸第一人”。不過，我可能要打碎您的美好想像了。“老畢”有一個得意門生，叫希帕索斯。有一天，“小希”同學忽然“滿血開挂”，發現了一個問題：一個兩條邊長都為1的等腰直角三角形，它的斜邊長是多少呢？按照老師的理論：

數學，擁有一套極強大的符号系統，這使得數學在表達上，在刻畫世間萬物上，簡潔、蓬勃、有力！

　　希帕索斯引出了一隻“大鬼”——無理數。這個根号2不可能表示成q/p的分數形式，而且這樣的無理數居然有很多：根号3、根号5、根号7……這嚴重地動搖了“畢氏學派”的根基。較多的說法是，我們的“畢學霸”采取了“滅口”的辦法，把希帕索斯裝入袋子，綁上石頭，沉入愛琴海了。讀到這裡，您也許會有兩個收獲：一是“學霸”本意，原來是指學術界的無賴、惡霸，以後慎用了；二是以後千萬不要和老師唱反調！哈哈……當然，您完全無需擔心和懷疑：畢氏學派是一個宗教、政治、學術合一的派别，有着極強的信仰，極嚴厲的規矩，這是“畢老師”生殺予奪的根源背景。至于現在的老師，“體罰和變相體罰學生”就是犯法！各位“淘皮”的同學，做夢可不要笑醒哦！

　　這個根号2引發了第一次數學危機。根号2＝1.414213562373095……，對于小學生，可以這樣理解：1.414213562373095……×1.414213562373095……＝2。它其實是一個無限不循環小數，為什麼叫做“無理數”，我隻能做些猜測：它不能寫成漂亮的分數形式……它的父親的老師很無理……

　　“科學是沒有止境的。誰為科學劃定界限，誰就會站到科學的對面，成為科學的敵人，最終也會被科學葬送。”

　　這不是我說的，我也不知道是誰說的，隻知道這段話很牛！令人感到諷刺的是：畢達哥拉斯定理既是畢大師的傑作，又是畢大師的掘墓人。

　　我的另一個猜測是：引入小數記數是一大進步。我們知道分數可以化成有限小數或無限循環小數，比如：

小學的分數，其實就是初中的有理數，用Q表示；小學的小數，其實就是初中的實數，用R表示。實數既包含有理數，又包含無理數。大家還記得直線表示的數軸嗎？實數與數軸一一對應。從Q到R，或者說從分數到小數，這是數系的一次重大擴張，這次“巨變”的導火索是由希帕索斯點燃的！在技術細節上，開方運算突破了有理數集。您是否已經感覺到：運算對于數系擴張的重大推動作用，這是數學發展的内在動力。實數（或小數）具有完備性和連續性的特點，換言之，分數或有理數是不連續的，因此，隻有實數可與連續的直線相匹配。需要聲明的是，您千萬不要感覺我在暗示：分數的産生早于小數，對此，我不敢下斷論。從小學數學課本給出的定義：“分母是10、100、1000……的分數可以用小數表示”，似乎印證了我的暗示。但我依然認為小數在技術手段上更易産生，它隻需要采用比1小的如0.1、0.01、0.001……這樣以10進制遞推的更小的計數單位即可生成，而分數的計數單位則是五花八門的。對于分數與小數誰的“輩份”更高一些，此處就不再深究了。

　　無限不循環小數也即無理數是數家族中的一個幽靈。根号2對于小學生有點遙遠，在初中才會學習。但小學六年級數學中我們會遇到“幽靈中的幽靈”——圓周率π（字母發音：pài）。π是圓周長與其直徑的比值，它是一個定值，我國南北朝時期的數學家祖沖之将π算到了：3.1415926～3.1415927之間。π像其他的無理數一樣兼具變化的特點，因為你無法直接知道某一小數位數字是幾。“變與不變”的神秘融合締造了“幽靈”的特點。現在人們利用計算機和各種優化算法的競賽，已将π的計算刷新到了2、3萬億位。有人單憑記憶，可以背出π的8萬多位小數位數字，而我隻能背到22位，秘訣卻不是我發明的：

　　3.14159　26535　897　932　384　626　……

　　“山巅一寺一壺酒　爾樂苦殺吾　把酒吃　酒殺爾　殺不死　樂而樂　……”

不錯吧！故事背景是：一位老師布置學生背誦圓周率π，自己卻跑到山頂寺廟吃酒去了，學生在郁悶中靈光乍現，想到的……還有人，将圓周率譜成曲子，彈奏了出來。真是有趣得緊！

　　其實，我要說的是：π不是尋常的無理數。根号2至少擁有一種簡潔、直觀的表達，不需要用一個字母來代替。圓周率卻辦不到：圓周率無法用有限的代數式表達，這個代數式可以是加、減、乘、除、幂、開方、對數、圓函數……運算的任意組合。這樣的無理數，叫做超越數。受個人水平制約，對超越數的理解，仍停留在表層和臆測階段，此段不敢保證正确性。π的表達式是無窮的，比如基本的萊布尼茨級數：

這個級數在真正的大神眼中，是“小兒科”級别的，因為收斂得很慢，不能高效率地逼近π的值，更别說參與π的計算競賽了。但，我隻知道這個。更多的表達形式，比如古老的連分數形式，或更高級的表達式，大家可搜一搜百度百科“圓周率”。

　　或許，數學就是一盞阿拉丁神燈，總有好奇的人，會将其打開，釋放其中的幽靈，将我們的“腦仁”無情折磨！如果這些内容對于小學生難以理解的話，那就抱着“沒吃過豬肉還沒見過豬跑”的心态來對待吧。或許，您看到一個東西長什麼樣，是了解它的開始。

　　然而，數學的發展從未止步。開方運算也遭遇了尴尬：　

的強制規定，誕生了與實數一一對應的虛數，用I表示。實數與虛數組合成了複數，用字母C表示。此時，複數不再與直線相匹配，而是與二維平面相匹配，被稱作“複平面” ……這些，在高中會學到，我隻想對小學生說：數家族中，還有一個強大的幽靈，叫做虛數，i叫做虛數單位。至于虛數能幹嘛，水平有限，就不瞎扯了。

　　稍微總結一下，數系的擴張如下：

　　N→Z→Q→R→C

　　自然數→整數→有理數（分數）→實數（小數）→複數

　　也可以用集合圖表示：　

　　這可以成為小朋友們終生學習數學的一條線索。（重要程度★★★★★）

　　也許以後還會出現新的擴張……

　　于是，小學數學“數與代數”内容的基本框架就成形了：

　　（1）自然數的意義和性質（包括産生、意義、計數單位、數位、讀法、寫法、大小比較、近似、改寫、性質等）、自然數的運算和運算定律、四則混合運算、簡便運算、列式計算、解決問題；

　　（2）整數的上述内容，關于負數的運算，其實系統的在初中；

　　（3）分數的上述内容；

　　（4）小數的上述内容；

　　（5）整數、分數、小數的大混合運算、簡便運算、列式計算、解決問題。

　　大家可以估計估計：整數運算的學習大約花費4年，小數運算的學習大約花費1.5年，分數運算的學習大約花費1.5年……

　　本文甚長，放水極多，終于可以痛快地說聲：

　　拜了個拜，再會。

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