【考點1】分式方程及其解法

1. 概念：分母中含有未知數的方程叫做分式方程．

2. 分式方程的解法

(1)解分式方程的一般步驟：

①乘以最簡公分母，化為整式方程；②解整式方程；③代入最簡公分母檢驗，若為0是增根舍去，不為0才是原分式方程的解.

(2)增根：使得原分式方程的分母為0的根．

注意：分式方程的增根與無解不是同一個概念．

1. 分式方程的增根是去分母後的整式方程的根，也是使分式方程的分母為0的根．

2. 分式方程無解的原因有兩個：一是去分母後的整式方程無解；二是整式方程的解使得最簡公分母為0.

【考點2】分式方程的實際應用

1. 用分式方程解實際問題的一般步驟

①找等量關系，設未知數；②列分式方程；③解方程；④檢驗；⑤答.

提醒：實際應用題中，檢驗最終的答案實際是雙檢驗：(1)檢驗是否是分式方程的解；(2)檢驗是否符合實際問題．

2. 常見類型及關系式

(1)行程問題

①基本數量關系：路程÷速度＝時間.

②常見應用題中的相等關系：同一路程÷甲速度-同一路程÷乙速度=時間差.

(2)工程問題

工作總量常可以看作整體“1”，這時，1/工作時間＝工作效率

①基本數量關系：工作總量÷工作效率＝工作完成時間.

②常見應用題中的相等關系：

甲工作總量÷甲工作效率- 乙工作總量÷乙工作效率=時間差.

(3)購買(盈利)問題

①基本數量關系：總價÷單價＝數量，總價÷數量＝單價.

②常見應用題中的相等關系：

商品總售價÷變化後商品單價-商品總售價÷商品單價＝數量差．

讓我們從2018年各地的中考試題中選取幾道有代表性的考題，進行評析：

【典例1】（2018·廣西北部灣）解分式方程

誤解：方程兩邊同乘以3（x-1）得

3x-1=2x……………………第一步

整理得 3x-2x=1…………第二步

解的 x=1 ……………第三步

經檢驗， x=1是原方程的增根，故原分式方程無解. ……第四步

上述解題過程從第一步就出現了錯誤，正确解答如下：

方程兩邊同乘以3（x-1）得

3x-1×3（x-1）=2x

整理得 2x=3

解得 x=3/2

經檢驗， x=3/2 是原方程的解為x=3/2 .

點評：對于含有常數項的分式方程，在求解的過程中應注意：

1．給方程兩邊同乘以最簡公分母時不要給常數項或整式部分漏乘；

2．去分母時，分子是多項式，則需将其看作一個整體，加括号，此處分數線充當括号的作用；

3．解方程過程中要注意驗根．

【典例2】（2018·達州）若關于x的分式方程

無解，則a的值為________．

解析：方程兩邊同乘以（x-3）去分母，得 x-3a=2a（x-3） 整理，得（1-2a）x=-3a.

分兩種情況：①當1-2a=0，即a=1/2時，方程（1-2a）x=-3a無解，則原方程無解；

②當1-2a≠0，即a≠1/2時，由分式方程無解，可得x=3.把x=3代入 x-3a=2a（x-3） 中，解得a=1.

綜上所述，當 a=1或a=1/2時，原分式方程無解.

點評：解分式方法是通過去分母把把分式方程轉化為整式方程，把通過整式方程求出來的根代入分式方程中，若使分式方程中的分母不為0，則所求出的根也就是分式方程的根，否則便是分式方程增根，分式方程的根一定是化簡後的整式方程的根，化簡後整式方程的根不一定是分式方程的根，有可能是增根. 因此，分式方程無解的題型，一般要考慮兩種情況：①使原分式方程的分母等于0的增根；②化簡後的整式方程無解. 考生在答題時，往往會忽略掉第二種情況，導緻遺漏答案而丢分，這點尤要重視.

趁熱打鐵，讓我們再練習一道此類題型：

若關于x的分式方程

無解，則m的值為_______．

解析：方程兩邊同乘以（x-3）去分母得 mx 1=2x-6，即（m-2）x=-7，當m-2=0時，整式方程無解，即當m=2時，分式方程無解；當m-2≠0時，使原分式方程的分母等于0的x值為3，則有3（m-2）=-7，解得m=-1/3.

綜上，當m=2或m=-1/3時，分式方程無解.故答案為：2或-1/3.

【2018年中考試題精選精練】

1、（2018·荊州）解分式方程式1/（x-2）-3=4/（2-x）時，去分母可得（ ）

A. 1-3（x-2）=4 B. 1-3（x-2）=-4 C. -1-3（2-x）=-4 D. 1-3（2-x）=4

2、（2018·株州）關于x的分式方程2/x 3/（x-a）=0的解為x=4，則常數a的值為（ ）

A.1 B.2 C.4 D.10

3、（2018·畢節）某商廈進貨員預測一種應季襯衫國暢銷市場,就用10000元購進這種襯衫，面市後果然供不應求,商廈又用22000元購進了第二批這種襯衫,所購數量是第一批購進量的2倍.但單價貴了4元,求這兩批襯衫的購進單價,若設第一批襯衫購進單價為元,則所列方程正确的是( )

4、（2018·貴州）施工隊要鋪設1000米的管道，因在中考期間需停工2天，每天要比原計劃多施工30米才能按時完成任務，設原計劃每天施工x米，所列方程正确的是（ ）

A.1000/x-1000/（x 30）=2 B.1000/（x 30）-1000/x =2

C.1000/x-1000/（x-30）=2 D.1000/（x-30）-1000/x =2

5、（2018·連雲港）解方程 3/（x-1）-2/x=0

6、（2018·湖南常德）分式方程1/（x 2）-3x/（x^2-4）=0的解為_______．

7、（2018·嶽陽）為落實黨中央“長江大保護”新發展理念，我市持續推進長江岸線保護，還洞庭湖和長江水清岸綠的自然生态原貌，某工程隊負責對一面積為33000平方米的非法砂石碼頭進行拆除，回填土方和複綠施工，為了縮短工期，該工程隊增加了人力和設備，實際工作效率比原計劃每天提高了20%，結果提前11天完成任務，求實際平均每天施工多少平方米？

8、（2018·威海）某自動化車間計劃生産480個零件，當生産任務完成一半時，停止生産進行自動化程序軟件升級，用時20分鐘，恢複生産後工作效率比原來提高了1/3，結果完成任務時比原計劃提前了40分鐘.求軟件升級後每小時生産多少個零件？

答案：

1、B

2、D

3、A

4、A

5、x=-2

6、x=1

7、600米

8、80個

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