之前我們花了這麼大篇幅從直線的斜率講到了曲線的導數,這就已經進入微分學的核心領地了。為什麼導數這麼重要呢?
因為導數反映的是一個量變化快慢的程度,這其實就是一種廣義的“速度”。速度這個概念在科學裡有多重要就不用我說了吧,當我們說一輛車的速度很快的時候,我們其實就是在說這輛車的位移對時間的導數很大。
此外,有了導數,我們就能輕而易舉地求一條曲線的極值(極大值或極小值),為什麼?因為隻要導數不為0,曲線在這裡就是在上升(大于0)或者下降(小于0)的,隻有導數等于0的地方,才有可能是一個極值點。
求極值可是非常重要的:軍人希望他們發射的炮彈可以飛得盡可能地遠;商人希望他們的利潤可以盡可能地高;我們也希望去哪都能走最近的路……
導數的這些用處很多人也都知道,事實上,我上面說的所有内容,求曲線圍成的面積也好,求曲線的導數也好,在牛頓和萊布尼茨之前大家就都已經知道了,但這些并不是最重要的。
牛頓和萊布尼茨之所以偉大,之所以大家把他們視為微積分的發明人,是因為他們在這些尋常事實背後發現了一個極不尋常的秘密:求面積和求導數,或者說積分和微分,這兩個看似完全不搭邊的東西,竟然是一對互逆的運算。
這裡我就不重複說三遍了,暫停一分鐘,大家好好思考一下這句話,看看自己聽到這句極為重要的話時有何感想。
未完待續~
下一講我們就來說說為什麼微分和積分互為逆運算。
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