洛必達法則當然你在大學階段可以使用。但是隻要有水平的出題老師，可以做到讓你在大學考試的時候不想用洛必達法則，逼迫你去使用其他的方法求解。

我個人并不反對使用洛必達，甚至非常建議在求極限已經化簡比較簡單的時候，使用洛必達法則。

使用洛必達法則的一些建議

基本上大的工作已經處理完畢（使用等價無窮小、泰勒展開、加減湊項、确定項代值）後，發現用其他辦法不如洛必達穩定。

本身就是比較簡單的極限問題，并且求導你很有把握。（大學老師如果禁止你使用洛必達法則，多半有可能是題目太簡單了，用洛必達法則可以很穩求解出來）

（慎重考慮）發現其他方法并不好做，并且在确定已經有足夠的時間下，使用洛必達法則，暴力計算出來。

為什麼我們通常不使用洛必達法則

求極限的方法有多種多樣，絕大多數問題都可以通過等價替代、泰勒展開、加減湊項、幂指代換等搞定。

我們經常高估了我們的計算能力，其實很多函數求導本身很複雜，求導之後更加複雜。

有時候判斷極限是否是0/0型和 [公式] 型也不容易。

經典例題

例題1:不适合使用洛必達法則

洛必達法則/加減湊配法/等價替代法/拉格朗日中值定求極限: lim

一→0

(3 r )”-3

分析:這是一道基礎極限題,可以用很多方法求解,就當是複習,解法1:洛必達法則

首先研究對 f ( z )=(3 則)*的求導:幂指代換求導:

f ( r )=(3 r )= erhn (3 =),

ra )= chaza [ n (3 時 弄]取對數法求導:

f ( a )=(3 a )”一 Inf ( a )= In (3 z )”= cIn (3 z ),兩邊求導:

南 r @)= n (8 本- G )= a [ n (3 = 兩]= r ( a )= ehaton (3 s ]

limeIn (3 )=e0·In3=1.國→0

因此:

(3 r )”-3 lim

國→0

erln (3 z ) [ In (3 z ) 弄 s 】—3I3

느 lim

→0 2T

erIn (3 ) q [ n (8 ] eihar6 器—3(n3)

느 lim

E →0

e °-ß [ n (3 0) 9]° e · la [ l84o o 8】—3.(n3)2

1·(In3) 1·信 )-1·(In3°)_

解法2:等價替代法1

ezIn3[ ezn (3 )-an3-1]

(3 z )”—3 eln (3 æ) - e ln3

1im = lim -= lim

T →0 T →0

1·[ rIn (3 r )-rIn3] r ·[ In (3 r )-In3]

= lim = lim

r →0

In (1 g

n (3 r )-In3 lnl

lim = lim = lim

r →0 →0

= lim

需→0T

2

解法3:等價替代法2

如果熟悉 y = a ”形式的同學,也可以不用幂指代換.

若工→0時, g ( z )→0且 f ( z )= C ,則 f ( z )9回)—1~ g ( a ) In [1 f ( a )].

3[()-

(3 z )”—3

lim = lim lim

E →0 z →0

, zIn (1 :)!

一1

= lim = lim 1 lim

面→0

解法4:拉格朗日中值定理

(3十 r )-3= erln (3 )-eln3= e [œ In (3十 r )一rln3], e (rln3, rln (3十 r ))エ→0時,→0, e →1.

(3十 z )”-3 eIn (3 т)erln3 拉格朗日中值定理 e [ rIn (3 a .

lim = lim lim

E →0 →0 z →0

rIn (3 z )—tIn3 r ·[ In (3 r )-In3]

lim = lim

E →0 z →0

3十工

In (3 r )-In3

16 = lim = lim

E →0 z →0

lim 工→0

例題2:非常适合使用洛必達法則

求極限: lim 牛 —(1 z )

分析:這是一道去年的每日一題,我們可以通過整體換元法,将關于 z 的極限換成關于 y 的極限求解;因為這樣進行洛必達法則,隻需要将 y 當成自變量求導即可,不需要當成隐函數求導.

解法1:洛必達法則

設 v =( ,則布: i "— =斯

由于 z →0時,(1十 z )→ e ,即 y → e ,我們考慮将其變成關于 y 的極限,則有:

—(=('—)

0m陽完寄“期“— g 一 tioce — tg —學

( 的) in (1 2 In (1十 z )

(2) lim = elim

= elim In (1十3)一王= elim 0z?用-ラ;

觀察極限,我們看到了熟悉的 y =(十 z ),那麼我們按照之前的套路,對其求導以及求其極限:

V = exma 啡立”" dt ,并且 limy =—是之後我們的分子可改寫成: e — r 下面就是洛必達了:

原式= i '”二 i "= im "’ v ——

二—— D ——"'— g — D —(别(台) imle — ee —D7]-등[ e "- e ( e -1) y -*].

又因為ェ→0, ye ,于是有:

둥 im [ e *- e ( e -) y ~*]=등 le - e ( e -1) e -*]= gle -( e °- e ) e ~*]=등 le *-( e ·- e ')]= g …—

下面是求'在 z →0時極限的過程:

Iim 以= linexpma 立一 h ( ) エー In (1 z )

프-(1 z ) n (1 )= elim ー In (1 )- zln (1 )= elim 프- In )- elim 픽 rIn (1 エ)

= elim 工(1 a )

重0

= elim - — e =—

看完這些之後,你是否對洛必達法則有了一定新的認識呢?

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