說到勾股數，最先想到的是什麼？

勾三股四弦五。

這是最簡單的一組勾股數，也是傳播度最廣的，它幾乎是勾股定理的代名詞。

所謂勾股數就是指滿足勾股定理的三個正整數，即a² b²=c²，其中a，b，c為正整數。

常見的勾股數：3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等。

曆史上，有很多數學家發明了構造勾股數的公式，構造了各種類型的勾股數：

• 三個連續整數的勾股數。

設三個連續的整數為x-1，x，x 1，

則(x 1)²-(x-1)²=x²，

解得x=0(舍去)，x=4

則三個連續整數的勾股數隻有3,4,5這一組。

• 後兩個為連續整數的勾股數。

比如5,12,13；7,24,25等。構造公式為，2n 1,2n(n 1)，2n(n 1) 1，其中n為正整數。

• 後兩個數為連續奇數的勾股數。

比如8,15,17；12,35,37等。構造公式為，4(n 1),4(n 1)²-1，4(n 1)² 1，其中n為正整數。

• 其他類型的勾股數。

2m，m²-1，m² 1，其中n>1的正整數；

(m²-n²)/2，mn，(m² n²)/2，其中m，n>1為互質的奇數；

2m，m²-n²，m² n²，其中m>n，m，n互質,一奇一偶的正整數；

以勾股數為三邊的直角三角形稱為完美直角三角形。很顯然這樣的直角三角形很完美，但并不罕見，有無數個。

完美直角三角形，對應于長方形就更有意思一些，即一個長方形其長寬及對角線長均為整數，這樣的長方形有無數個。

但是，追求完美是人類的秉性。數學家歐拉對這個問題也産生過興趣并且進行過研究，他由長寬對角線均為整數的長方形推及到長方體，提出能否找到長寬高及面對角線均為整數的長方體？後來人們把這種長方體叫做歐拉長方體，但人們更喜歡形象地把它叫做歐拉磚。

用字母來表示就是，長方體的長寬高分别為三個整數a，b，c，

則l1=√a² b²，l2=√a² c²，l3=√b² c²也均為整數。

在1719年，一個叫Paul Halcke的會計和工程師找到了“這塊磚”，這塊磚的長寬高分别為（44,174,240），更神奇的是44² 174²=125²， 44² 240²=244²，174² 240²=267²，即這塊磚六個面的對線分别為125,244,267均為整數，這塊磚是最小的歐拉磚。很顯然棱長為（44n,174n,240n），其中n為正整數，這樣長方體仍為歐拉磚。

後來更多的人加入到尋磚之列，功夫不負有心人，又“挖”無數歐拉磚，列舉如下：

（85,132,720）

（125,240,252）

（140,480,693）

（160,231,792）

（187,1020,1584）

。。。。。。

再後來，英國一個叫尼古拉斯.桑德森的家夥幹脆“挖”到了一座礦。他發明一個構造歐拉磚的公式：由一組勾股數（a，b，c）為基礎，經過數學計算，勾兌為a(4b²-c²)，b(4a²-c²)，4abc時，

各面對角線為c^3，a(4b² c²)，b(4a² c²)

下圖是按此法構造的一些歐拉磚：

因為歐拉磚并不稀缺，所以仍有缺憾！為了追求更加完美，有人把眼光投向了歐拉磚的體對角線。如果歐拉磚的體對角線也為整數，豈不更完美嗎？

用那塊最小（44,174,240）的歐拉磚來試試，其面對角線分别為125,244,267，其體對角線=√44² 174² 240²=5√2929，非整數，可惜啦。

再試一個（104,153,672），其體對角線=√104² 153² 672²=697，

三條面對角線185,680，3√52777，差一丢丢，還有一條面對角線不是整數，更可惜啦。

于是，人們把這樣的長方體作為完美的化身，孜孜以求，并且稱之為完美長方體。

若長方體的三條棱，三條面對角線，體對角線均為整數，這樣的長方體就叫做完美長方體。

即長方體的三條棱a，b，c為整數，

若其面對角線，l1=√a² b²，l2=√a² c²，l3=√b² c²均為整數，

體對角線g=√a² b² c²也為整數，則（a，b，c）為完美長方體。

完美長方體的概念提出之後，無數的數學家，數學愛好者都加入到尋找完美長方體的人流之中，經過幾個世紀的尋找，終于每次都與之擦肩而過，失之交臂。因而，完美長方體終成未解之謎。更奇葩的是，時至今日，人們既找不到她，也證明不了她不存在！

直到2009年，這是離她最近的一次。有人找到（271,103,106），其各項指标都符合，三條棱長，三條面對角線，體對角線都是整數。非常遺憾的是它不是長方體，隻是一個平行六面體，但人們還是給它取一個好聽的名字，叫拟完美長方體。

看完此文，你是否也被她所吸引，加入尋找完美長方體的隊伍之中來吧。聰明如你，幸運之神，在向你招手，說不定你能找到她！

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