A.思維模型綜述

學習的本質，除了記住哪些知識之外，更重要的是在它觸發了你的思考。解題，無疑是學好數學的最佳途徑。解題時，學生們務必注重提醒自己時刻準備訓練數學思維。"千淘萬漉雖辛苦，吹盡狂沙始到金"這句話真實的傳達出了我們自己的主題：刷百題不如吃透一題，悟透一題，舉一反三，觸類旁通，把每一道題都做精，通過思維拓展，借題發揮，探索其中的内在規律和方法，達成"做一題，通一類，會一片"的目标 。

解直角三角形的應用問題是在已有的三角函數知識基礎上，綜合運用數形結合思想、方程思想等數學思想方法來解決實際問題，這類題目是近幾年中考的必考題型，考察内容有方位角、仰角、俯角、坡度、工程等等。因此，熟練掌握幾種典型的背景圖，有助于我們順利建立數學模型，進而高效地解決此類問題.

在實際測量高度、寬度、距離等問題中，常結合視角知識構造直角三角形，利用三角函數或相似三角形來解決問題．常見的構造的基本圖形有如下幾種：

1. 不同地點看同一點(如圖1)；②同一地點看不同點(如圖2)；

2. 利用反射構造相似(如圖3)．

利用模型思想求解問題是數學解題的重要思想，一個模型就可以解決一大類題目，下面我們把解直角三角形的應用題目中的模型進行了分類研究，大家把每一種模型的細節研究透，把省略的解題步驟補充完整，将會很快掌握這四個背景圖，從而在解決這類問題時得心應手.

銳角三角函數的魅力在于應用,它起到了工具的作用,通常用來解決有關測量、航海、工程技術等生活中的實際問題,它往往與三角形、四邊形的内容綜合.測高(或寬)問題是中考熱點考題,解決的方法是通過做垂線段或高,構造直角三角形,在直角三角形中解決問題,這就是化斜為直的思想.

在做選擇題、填空題時可以将此結論當作公式,将此過程當成萬能步驟,相信會為你節省不少時間呢.

B.最新考題透視

1．（2019•濱海新區模拟）如圖，甲、乙兩座建築物的水平距離BC為30m，從甲的頂部A處測得乙的頂部D處的俯角為35°測得底部C處的俯角為43°，求甲、乙兩建築物的高度AB和DC（結果取整數）．（參考數據：tan35°≈0.70，tan43°≈0.93）

【分析】首先分析圖形：根據題意構造直角三角形；本題涉及兩個直角三角形，應用其公共邊構造關系式，進而可求出答案．

【解答】如圖作AE⊥CD交CD的延長線于E．則四邊形ABCE是矩形，

∴AE＝BC＝30，AB＝CE，

在Rt△ACE中，EC＝AE•tan43°≈27.9（m）

在Rt△AED中，DE＝AE•tan35°，

∴CD＝EC﹣DE＝AE•tan43°﹣AE•tan35°＝30×0.93﹣30×0.7≈7（m），

答：甲、乙建築物的高度AB為28m，DC為7m．

2．（2019•瑤海區一模）如圖，山坡AC的坡比為3：4，在與山腳C距離200米的D處，測得山頂A的仰角為26.6°，求山高AB（結果取整數：參考數據：sin26.6°＝0.45，cos26.6°＝0.89，tan26.6°＝0.50）．

【分析】首先在直角三角形ABC中根據坡角的正切值用AB表示出BC，然後在直角三角形DBA中用BA表示出BD，根據BD與BC之間的關系列出方程求解即可．

【解答】∵在直角三角形ABC中，AB/BC＝tanα＝3/4，∴BC＝4AB/3，

∵在直角三角形ADB中，∴AB/BD＝tan26.6°＝0.50,即BD＝2AB

∵BD﹣BC＝CD＝200,∴2AB﹣4/3AB＝200,解得：AB＝300米，

答：山高為300米．

3．（2019•廣東一模）如圖，九年級學生在一次社會實踐活動中參觀了具有深厚文化底蘊的觀音山後感概萬千，這座觀音多高呢？為了測量這座觀音像的高度AB，數學興趣小組在C處用高為1.5米的測角儀CE，測得塔頂A角為42°，再向觀音像方向前進12米，又測得觀音像的頂端A的仰角為61°，求這座觀音像的高度AB．

（參考數據：sin42°≈0.67，tan42°≈0.90，sin61°≈0.87，tn61°≈1.80，結果保留整數）

【分析】根據題意得到BH＝CE＝DF＝1.5m，EF＝CD＝12m，設AH＝x，解直角三角形即可得到即可．

【解答】如圖，記EF的延長線交CD于H，根據題意得：BH＝CE＝DF＝1.5m，EF＝CD＝12m，設AH＝x，在Rt△AEH中，∠AEH＝42°，AH═x，

答：這座觀音像的高度AB是23m．

【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，本題的突破點是證明AB＝BM＝40，屬于中考常考題型．

4．（2019•青羊區模拟）如圖，某中學計劃在主樓的頂部D和大門的上方A之間挂一些彩旗．經測量，得到大門AB的高度大約是3m，大門距主樓的距離是45m，在大門處測得主樓頂部的仰角是30°，而當時測傾器離地面大約是m．

求：（1）學校主樓的高度（結果保留根号）；

（2）大門上方A與主樓頂部D的距離（結果保留根号）

【分析】（1）根據題意作出合适的輔助線，然後利用特殊角的三角函數即可求得學校主樓的高度；

（2）根據（1）中的結果和銳角三角函數、勾股定理可以求得大門上方A與主樓頂部D的距離．

【解答】（1）作EF∥BC交DC于點F，

∵BC＝45m，∴EF＝45m，

∵∠DEF＝30°，∠DFE＝90°，∴tan30°＝DF/EF=DE/45，

∴√3/3=DE/45，解得，DE＝15√3，

∵EB＝√3m，∴DC＝15√3 √3＝16√3m，

即學校主樓的高度是16√3m；

（2）作AG∥BC交DC于點G，

【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角文題，解答本題的關鍵是明确題意，利用數形結合的思想解答．

5．（2019•鄧州市一模）知識改變世界，科技改變生活．導航裝備的不斷更新極大方便了人們的出行．如圖，某校組織學生乘車到我市"四館一中心"開展社會實踐活動，車到達A地後，發現C地恰好在A地的正北方向，且距離A地13千米，導航顯示車輛應沿北偏東60°方向行駛至B地，再沿北偏西37°方向行駛一段距離才能到達C地，求B，C兩地的距離．

【分析】作BD⊥AC，設AD＝x，在Rt△ABD中求得BD，在Rt△BCD中求得CD，由AC＝AD CD建立關于x的方程，解之求得x的值，根據三角函數的定義即可得到結論．

【解答】如圖，作BD⊥AC于點D，則∠BAD＝60°、∠DBC＝53°，

即BC兩地的距離為11.4千米．

【點評】此題考查了方向角問題．此題難度适中，解此題的關鍵是将方向角問題轉化為解直角三角形的知識，利用三角函數的知識求解．

6．（2019•新昌縣一模）如圖，某輪船在點B處，測得小島A在B的北偏東60°方向，然後向正東方向航行60海裡到點C處，測得小島A在C的北偏東30°方向．

（1）求小島A到這艘輪船航行在點B時AB的長度．

（2）若輪船繼續往正東方向行駛40海裡到點D處，求AD的距離（精确到1海裡）．（≈2.65）

【分析】（1）如圖，直角△ACE和直角△ABE有公共邊AE，在兩個直角三角形中，利用三角函數即可用AE表示出CE與BE，根據CB＝BE﹣CE即可列方程，從而求得AE的長，然後根據直角三角形的性質即可得到結論；

（2）由（1）求得BE＝90海裡，則DE＝10海裡，在直角△AED中，利用勾股定理求得AD的長度即可．

【解答】（1）如圖所示，過點A作AE⊥BD于點E，

則有∠ABE＝30°，∠ACE＝60°．∴∠CAB＝∠ABE，∴BC＝AC＝60海裡．

（2）若輪船繼續往正東方向行駛40海裡到點D處，AD的距離約是530海裡．

【點評】本題主要考查了勾股定理的應用、直角三角形的計算，一般的三角形可以通過作高線轉化為解直角三角形的計算，計算時首先計算直角三角形的公共邊是常用的思路．

7．（2019•婺城區模拟）如圖，利用一幢已知高度的樓房CD（樓高為20m），來測量一幢高樓AB的高在DB上選取觀測點E、F，從E測得樓房CD和高樓AB的頂部C、A的仰角分别為

58°、45°．從F測得C，A的仰角分别為22°，70°．求樓AB的高度（精确到1m）（參考數據：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75）

【分析】在△CED中，得出DE，在△CFD中，得出DF，進而得出EF，列出方程即可得出建築物AB的高度．

【解答】在Rt△CED中，∠CED＝58°，

C.深度反思總結

一般來說，解雙直角三角形問題，可把兩個直角三角形的相關條件聯系在一起構建方程求解．解決該類問題時注意尋找兩直角三角形的公共邊角或相等的邊角，它們往往是溝通解證思路的"橋梁"．解雙直角三角形基本模型如下：

利用解直角三角形解決實際問題的步驟是：（1）審題，弄清方位角、仰角、俯角、坡角、坡度、水平距離、垂直距離等概念，将實際問題抽象為數學問題．（2）認真分析題意，畫出平面圖形，轉化為解直角三角形問題，對于非基本的題型可通過解方程（組）來轉化為基本類型，對于較複雜的問題，往往要通過作輔助線構造直角三角形，或分割成一些直角三角形或矩形．（3）根據條件，結合圖形，選用适當的銳角三角函數解直角三角形．（4）按照題目中已知數的精确度進行近似計算，檢驗得到符合實際要求的解，并按題目要求的精确度确定答案，并标注單位．對非直角三角形的求解，可以通過作輔助線的方法轉化成直角三角形解決，這種方法叫"化斜為直"法．通常以特殊角為一銳角，構造直角三角形．若條件中含有線段的比或銳角三角函數值，也可以設未知數，列方程求解．

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