一、生活中的立體圖形分類

1.棱柱的相關概念（初中隻讨論直棱柱，即側面是長方形）

①棱：在棱柱中，相鄰兩個面的交線叫做棱

②側棱：在棱柱中，相鄰兩個側面的交線叫做側棱

③根據底面圖形的邊數将棱柱分為三棱柱、四棱柱、五棱柱......

④棱柱所有側棱都相等，棱柱的上、下底面的形狀相同，側面的形狀都是平行四邊形

2.n棱柱的面、頂點、棱、側棱、側面數量關系

3.點、線、面、體

①點：線和線相交的地方是點，它是幾何中最基本的圖形

②線：面和面相交的地方是線，分為直線和曲線

③面：包圍着體的是面，分為平面和曲面

④體：幾何體也簡稱體

⑤點動成線，線動成面，面動成體

二、展開與折疊

1.常見立體圖形的展開圖

①圓柱：兩個圓，一個長方形

②圓錐：一個圓，一個扇形

③三棱錐：四個三角形

④三棱柱：兩個三角形，三個長方形

⑤正方體展開圖：共有11種，141（6種）,231（3種）,33（1種）,222（1種）

⑥要展開一個正方體，需要切開7條棱

⑦正方體平面展開圖找對立面：相間、Z端

三、截一個幾何體

1.常見立體圖形的截面

2.用一個平面去截一個正方體，可能得到三邊形、四邊形、五邊形、六邊形（3456）

四、三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖）

1.三視圖的6種題型：

（1）已知實物圖畫三視圖；

（2）已知俯視圖，畫主視圖和左視圖；

（3）已知主視圖、左視圖和俯視圖，确定小立方體的個數；

（4）已知主視圖和俯視圖，确定小立方體最多和最少個數；

（5）已知左視圖和俯視圖，确定小立方體最多和最少個數；

（6）已知主視圖和左視圖，确定小立方體最多和最少個數。

五、多邊形的一些規律

1.從一個n邊形的同一個頂點出發，分别連接這個頂點與其餘各頂點，可以把這個n邊形分割成（n-2）個三角形。

2.從一個n邊形的一邊上的一點出發，分别連接這個點與其餘各頂點，可以把這個n邊形分割成（n-1）個三角形。

3.從一個n邊形的内部的一個點出發，分别連接這頂點與其餘各頂點，可以把這個n邊形分割成n個三角形。

4.從一個n邊形一個頂點出發，可引（ n-3）條對角線，n邊形共有條對角線。

5.數學家歐拉發現：若用f表示正多面體的面數，e表示棱數，v表示頂點數，則有：f v-e=2

一、有理數

1.分類

有限小數和無限循環小數都是分數，都是有理數

2.正負數：表示相反意義的量

3.相反數

①隻有符号不同的兩個數叫做互為相反數，0的相反數是0

②在數軸上，表示互為相反數的兩個點，位于原點的兩側，且到原點的距離相等

③互為相反數的兩個數的和是0。即a (-a)=0

4.數軸：規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸

①數軸三要素：原點、正方向、單位長度

②任何一個有理數都可以用數軸上的點表示。（反過來說不對，不能說數軸上所有的點都表示有理數）

③在同一數軸上，右邊的數總比左邊的數大

5.倒數

①乘積為1的兩個有理數互為倒數（乘積為-1的兩個有理數互為負倒數）

②如果a與b互為倒數，則有ab=1,反之亦成立

③倒數等于本身的數是1和-1。0沒有倒數

6.絕對值

①在數軸上，一個數所對應的點與原點的距離，叫做該數的絕對值，記作

②任何數的絕對值總是非負數，即

③正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0.

7.有理數比較大小

①正數>0>負數

②正數和正數比較大小，絕對值大的就大

③負數和負數比較大小，絕對值大的反而小

二、有理數的運算

1.運算順序：先算乘方，再算乘除，最後算加減，有括号先算括号裡面的

2.運算律

①加法交換律：a b=b a

②加法結合律：(a b) c=a (b c)

③乘法交換律：ab=ba

④乘法結合律：(ab)c=a(bc)

⑤乘法對加法的分配律：a(b c)=ab bc

3.有理數的加法法則

①同号兩數相加，取相同的符号，并把絕對值相加

②異号兩數相加，取絕對值較大數的符号，并用較大數的絕對值減去較小數的絕對值

③一個數同0相加，仍得這個數

4.有理數的減法法則

①減去一個數，等于加上這個數的相反數

5.有理數的乘法法則

①兩數相乘，同号得正，異号得負，并把絕對值相乘

②任何數與0相乘，積仍為0

③幾個不為0的因數相乘，積的符号由負因數的個數決定，當負因數的個數是偶數時，積為正；當負因數的個數是奇數時，積為負。

6.有理數的除法法則

①兩數相除，同号得正，異号得負，并把絕對值相除

②0除以任何非0數都得0,0不可作為除數，否則無意義

③除以一個數，等于乘以這個數的倒數

7.有理數的乘方

①幾個相同因數積的運算叫做乘方

②一個數可以看作是本身的一次方

③當底數是負數或分數時，要先用括号将底數括上，再在右上角寫指數

④乘方的運算性質

⑴正數的任何次幂都是正數

⑵負數的奇數次幂是負數，偶數次幂是正數

⑶任何數的偶數次幂都是非負數，即

⑷1的任何次幂都得1,0的任何次幂都得0

⑸-1的偶次幂得1，-1的奇次幂得-1

⑹在運算過程中，首先要确定幂的符号，然後再計算幂的絕對值

8.科學記數法

①一般地，一個大于10的數可以表示成的形式，其中，n是正整數，這種記數方法叫做科學記數法。

一、字母表示數（字母可以表示任何數）

二、代數式

1.代數式的概念

用運算符号（加、減、乘除、乘方、開方等）把數與表示數的 字母連接而成的 式子叫做代數式。單獨的 一個數或一個字母也是代數式。

2.注意

①代數式中除了含有數、字母和運算符号外，還可以有括号；

②代數式中不含有“=、>、<、≠”等符号。等式和不等式都不是代數式，但等号和不等号兩邊的式子一般都是代數式；

③代數式中的字母所表示的數必須要使這個代數式有意義，是實際問題的要符合實際問題的意義。

3.代數式的書寫格式

①代數式中出現乘号，通常省略不寫，如vt；

②數字與字母相乘時，數字應寫在字母前面，如4a；

③帶分數與字母相乘時，應先把帶分數化成假分數後與字母相乘，如

④數字與數字相乘，一般仍用“×”号，即“×”号不省略；

⑤在代數式中出現除法運算時，一般按照分數的 寫法來寫，

注意：分數線具有“÷”号和括号的 雙重作用。

⑥在表示和（或）差的 代差的 代數式後有單位名稱的 ，則必須把代數式括起來，再将單位名稱寫在式子的 後面，

三、整式

1.單項式

①數與字母的乘積的形式的代數式叫做單項式，單獨的一個數和一個字母也是單項式

②系數：單項式的數字因數叫做單項式的系數

③次數：單項式種所有字母的指數和叫做單項式的次數

2.多項式

①幾個單項式的和叫做多項式

②項：組成多項式的每個單項式叫做多項式的項，不含字母的項叫做常數項

③次數：多項式中，次數最高的項的次數，叫做多項式的次數

3.同類項

①所含字母相同，并且相同字母的指數也相同的項，叫做同類項

②兩個相同，兩個無關

③合并同類項，把同類項合并成一項叫做合并同類項，系數相加，字母和字母的指數不變

4.去括号法則

①括号前面是 ，去掉括号和前面的 号後，原括号裡各項的符号都不改變

②括号前面是-，去掉括号和前面的-号後，原括号裡各項的符号都改變

5.添括号法則

①添“＋”号和括号，添到括号裡的各項符号都不改變

②添“－”号和括号，添到括号裡的各項符号都要改變

6.整式的加減

一般步驟：先去括号，再合并同類項

一、直線、射線、線段

2.直線公理：經過兩點有且隻有一條直線（兩點确定一條直線）

3.字母表示圖形

①一個點可以用一個大寫字母表示

②一條直線可以用一個小寫字母或用直線上兩個點的大寫字母表示

③一條射線可以用端點和射線上另一點來表示（端點字母寫在前面）

④一條線段可以用一個小寫字母或用它的端點的兩個大寫字母來表示

4.點和直線的關系

①點在直線上，或者說直線經過這個點

②點在直線外，或者說直線不經過這個點

5.線段的性質

①線段公理：兩點之間，線段最短

②兩點之間的距離：兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離

③線段的中點到兩端點的距離相等

④線段的大小關系和它們的長度的大小關系式一緻的

6.比較線段的長短

（1）比較線段長短的兩種方法:

①圓規截取比較法;

②刻度尺度量比較法.

（2）用刻度尺可以畫出線段的中點,線段的和、差、倍、分；用圓規可以畫出線段的和、差、倍

二、角

1.有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條設想的公共端點叫做這個角的頂點

2.角也可以看成是一條射線繞着它的端點旋轉而成的

3.角的表示

角的符号為“∠”

①用數字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處隻有一個角）的角，如∠B，∠C等。

④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。

注意：用三個大寫字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側。

4.角的度量

角的度量有如下規定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1’”。

把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。

1°=60’，1’=60”

5.角的平分線

從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線

三、多邊形

1.由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉平面圖形，叫做多邊形

連接不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。

從一個n邊形的同一個頂點出發，分别連接這個頂點與其餘各頂點，可以畫（n-3）條對角線，把這個n邊形分割成（n-2）個三角形

四、圓

1.平面上，一條線段繞着一個端點旋轉一周，另一個端點形成的圖形叫做圓。固定的端點O稱為圓心，線段OA的長稱為半徑的長（通常簡稱為半徑）。

2.圓上任意兩點A、B間的部分叫做圓弧，簡稱弧，讀作“圓弧AB”或“弧AB”；由一條弧AB和經過這條弧的端點的兩條半徑OA、OB所組成的圖形叫做扇形。頂點在圓心的角叫做圓心角。

第五章 一元一次方程

一、基本概念

（一）方程的變形法則

法則1：方程兩邊都 或 同一個數或同一個 ，方程的解不變。

例如：在方程7-3x=4左右兩邊都減去7，得到新方程：-3x=4-7。

在方程6x=-2x-6左右兩邊都加上2x，得到新方程：8x=-6。

移項：将方程中的某些項改變符号後，從方程的一邊移動到另一邊，這樣的變形叫做移項，注意移項要變号。

例如：(1)将方程x－5＝7移項得：x＝7 5即x＝12

(2)将方程4x＝3x－4移項得：4x－3x＝－4即x＝－4

法則2：方程兩邊都除以或 同一個 的數，方程的解不變。

這裡的變形通常稱為“将未知數的系數化為1”。

注意：

（1）如遇未知數的系數為整數，“系數化為1”時，就要除以這個整數；如遇到未知數的系數為分數，“系數化為1”時，就要乘以這個分數的倒數。

（2）不論上一乘以或除以數時，都要注意結果的符号。

方程的解的概念：能夠使方程左右兩邊都相等的未知數的值，叫做方程的解。

求方程的解的過程，叫做解方程。

（二）一元一次方程的概念及其解法

1．定義：隻含有一個未知數，并且含有未知數的式子都是 ，未知數的次數是 ，這樣的方程叫做一元一次方程。

例如：方程7-3x=4、6x=-2x-6都是一元一次方程。

而這些方程5x2－3x 1＝0、2x y＝l－3y、1/x-1＝5就不是一元一次方程。

2．一元一次方程的一般式為：ax b=0（其中a、b為常數，且a≠0）

一元一次方程的一般式為：ax=b（其中a、b為常數，且a≠0）

3．解一元一次方程的一般步驟

步驟：去分母，去括号，移項，合并同類項，未知數的系數化為1。

注意：（1）方程中有多重括号時，一般應按先去小括号，再去中括号，最後去大括号的方法去括号，每去一層括号合并同類項一次，以簡便運算。

（2）“去分母”指去掉方程兩邊各項系數的分母；去分母時，要求各分母的最小公倍數，去掉分母後，注意添括号。去分母時，不要忘記不等式兩邊的每一項都乘以最小公倍數（即公分母）

（三）一元一次方程的應用

1．純數學上的應用：（1）一元一次方程定義的應用；（2）方程解的概念的應用；（3）代數中的應用；（4）公式變形等。

2．實際生活上的應用：（1）調配問題；（2）行程問題；（3）工程問題；（4）利息問題；（5）面積問題等。

3．探索性應用：這類問題與上面的幾類問題有聯系，但也有區别，有時是一種沒有結論的問題，需要你給出結論并解答。

本章要求

1．會對方程進行适當的變形解一元一次方程：解方程的基本思想就是轉化，即對方程進行變形，變形時要注意兩點，一時方程兩邊不能乘以（或除以）含有未知數的整式，否則所得方程與原方程的解可能不同；二是去分母時，不要漏乘沒有分母的項，一元一次方程是學習二元一次方程組、一元二次方程、一元一次不等式及函數問題的基本内容。2．正确理解方程解的定義，并能應用等式性質巧解考題：方程的解應理解為，把它代入原方程是适合的，其方法就是把方程的解代入原方程，使問題得到了轉化。3．理解方程ax=b在不同條件下解的各種情況，并能進行簡單應用:(1)a≠0時，方程有唯一解；(2)a=0，b=0時，方程有無數個解； (3)a=0，b≠0時，方程無解。4．正确列一元一次方程解應用題：列方程解應用題，關鍵是尋找題中的等量關系，可采用圖示、列表等方法，根據近幾年的考試題目分析，要多關注社會熱點，密切聯系實際，多收集和處理信息，解應用題時還要注意檢查結果是否符合實際意義。5.幾種常見的問題：和差倍分問題、等機變形問題、勞力調配問題、比例分配問題、數字問題、工程問題。

一、數據的收集

1.數據收集的方法

①直接方法：觀察、測量、調查、實驗燈

②間接方法：互聯網查詢、查閱文獻資料等

二、普查和抽樣調查

1.普查（為一特定目的而對所有考察對象所做的全面調查）

①總體：所考察的對象的全體

②個體：組成總體的每一個考察對象

2.抽樣調查（為一特定目的而對部分考察對象所做的調查）

①樣本：從總體中所抽取的一部分個體。隻有抽樣調查裡，才有樣本

②樣本容量：從總體中抽取的個體的數量

③為了使樣本能較好地反映總體情況，除了有合适的樣本容量外，抽取時還要盡量使每一個個體有相等的機會被抽到

④總體中的每一個個體都有相等機會被抽到，這樣的抽樣方法是一種簡單随機抽樣

⑤抽樣調查要注意：1.樣本容量不能太少（廣泛性）；2.樣本應具有代表性

注意：

①抽樣調查時，采用不同的樣本，得到的結果一般也不相同．要想得到總體較準确的結果，一方面樣本要具有較好的代表性，同時樣本容量要大一些．

②調查樣本是按随機的原則抽取的，在總體中每一個單位被抽取的機會是均等的，因此，能夠保證被抽中的單位在總體中的均勻分布，不緻出現傾向性誤差，代表性強。③抽樣調查是以抽取的全部樣本單位作為一個“代表團”，用整個“代表團”來代表總體。而不是用随意挑選的個别單位代表總體。④所抽選的調查樣本數量，是根據調查誤差的要求，經過科學的計算确定的，在調查樣本的數量上有可靠的保證。

3.普查與抽樣調查的比較

三、數據的表示

1.扇形統計圖

利用圓與扇形來表示總體與部分的關系，扇形的大小反映部分占總體的百分比的大小，這樣的統計圖叫做扇形統計圖。（各個扇形所占的百分比之和為1）

圓心角度數＝360°×該項所占的百分比。（各個部分的圓心角度數之和為360°）

2.條形統計圖

條形的高度表示某類别數據的個數，條形的高度越高，說明這類數據的個數越多

3.頻數直方圖

①各組中數據的個數叫做頻數．

②頻數與數據總個數的比值叫做頻率．各組的頻率之和為1．

③把所有數據分成若幹個組,每個小組的兩個端點之間的距離(組内數據的取值範圍)稱為組距．

④把數據分成若幹組，分成組的個數叫組數．

⑤頻數分布表與直方圖可以表示數據的分布情況．

4.折線統計圖

5.統計圖的選擇

①條形統計圖能清楚的表示出每個項目的具體個數

②折線統計圖能清楚的反映出事物的變化情況

③扇形統計圖能清楚的表示出各部分在總體中所占的百分比

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