内容導讀：切線、導數、偏導數、梯度、梯度下降算法，從中學、大學數學到人工智能，這些概念是一脈相承的。本文将這些知識進行大串聯。

如果你是個中學生，讀完本篇文章，你将會了解到，中學裡學習的數學将來會在人工智能的哪些方面應用。如果你正在從事人工智能的學習研究，本文将有助于你系統地重溫人工智能算法及其預備知識的前世今生。

(1)中學數學裡的相切、切線、導數等概念。

曲線上某點A的切線是這樣定義的：B是曲線上鄰近A的點，以A為定點，當B點沿着曲線無限地接近A點時，割線AB的極限位置就是曲線在點A的切線，A點叫做切點。下面的GIF動畫動态演示了這一過程。

我們可以繪制任意光滑曲線上的點的切線。下面幾幅動圖展示了圓、抛物線、正弦曲線、複合函數曲線上的切線。

有了切線和切點，我們還可以求出經過切點的法線，它與切線垂直。正弦曲線上任何一點的切線及其法線如下面的動圖所示。

曲線上某點的切線的斜率，我們稱之為曲線在該點的導數。當然，導數有其嚴格的定義，函數y=f(x)在x0處的導數定義為：函數y=f(x)在x0處的函數值的增量Δy與自變量的增量Δx之比在Δx→0時的極限，如下圖所示：

當然，這個導數值與x0處的切線斜率是相等的。

導數或者切線斜率有什麼意義？它反映了當自變量變化時，因變量變化的快慢程度。如下圖所示，圖中給出了抛物線上兩點A,B的切線，顯然B點的切線更陡峭，則在兩點處，當自變量x有相同的變化量Δx時，B點的因變量Δy更大。明白這一點很重要。

在中學裡學習的導數，僅限于單個自變量的函數。事實上，許多函數有2個或者更多自變量。那麼此時導數該怎麼定義呢？這就要用到偏導數。

(2)大學裡的偏導數概念。

為了簡化問題，數學家們想了一個巧妙的方法。例如對2元函數f(x,y),把y看作常數，則f(x,y)變成了一元函數，就可以按照中學裡導數的定義求解出f(x,y)在(x0,y0)處對x的導數。同理，将x看作常數，可以求出f(x,y)在(x0,y0)處對y的導數。這個導數叫作對x或y方向的偏導數，如下圖所示。

偏導數用下面的公式來表示。

偏導數反映了在(x0,y0)處，f(x,y)在某個方向上随該自變量變化而發生變化的快慢程度。

很容易将偏導數的概念推廣到多元函數。

如果給偏導數添加方向，可以将偏導數變換為矢量形式。其變換方法為将各個方向的偏導數乘以該方向的單位方向向量，如下圖所示：

則該矢量的和稱為梯度，如上面的圖所示。反過來，梯度矢量在各個坐标軸的投影的大小即為在各個方向的偏導數。

那麼梯度有什麼意義呢？根據前面的介紹，方向導數反映了函數值在各個方向上的最大變化率，梯度是各個方向梯度分量（偏導數乘以單位方向向量）的合成，則梯度自然反映了函數的最大變化率及其方向。

理解了這一點非常重要。它有什麼用呢？

在人工智能的機器學習中，訓練各種機器學習模型時，常常構造一個誤差函數。為了避免正負誤差抵消，常取模型輸出與目标輸出的誤差平方和構造一個誤差函數，也稱為損失函數，如下圖所示。

而這個誤差函數中，有一些變量，譬如權重，是模型訓練要優化的對象。

機器學習模型的訓練，是一個反複叠代更新誤差函數中的權重等變量，使誤差下降的過程。自然，誤差下降的越快，則模型訓練用時越少。

聯想到函數沿梯度方向的變化量最大，自然而然的想到，每次叠代都沿梯度方向降低誤差，會使誤差快速下降。看下圖，假定它是一個2元變量的誤差函數。誤差函數存在極小值，則顯然沿路徑ABCDE誤差下降到達最小值的速度最快。

簡單的講，梯度下降算法基本思想是：在當前位置，各個自變量沿各自的梯度方向變化，得到下一個位置。下圖是該算法的描述，分别給出了誤差函數和參數更新公式。

圖中，a是學習步長，用來控制參數更新的快慢。

下圖展示了一個1元誤差函數梯度下降算法的過程。

總結：切線、導數、偏導數、梯度、梯度下降算法，從中學、大學數學到人工智能，這些概念層層遞進，一脈相承。反過來看，人工智能的算法并不複雜，它的基本思想就蘊含在中學、大學學習的數學知識中。

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