原創 林根數學 林根數學 2022-03-15 11:24

e,作為數學常數,是自然對數函數的底數.有時稱它為歐拉常數,以瑞士數學家歐拉命名；實際上，第一次堤到常數e是約納皮爾（John Napier)于1618年出版的對數著作附錄中的一張表，對，這個Napier就是發明對數的那個人，但他沒有記錄這常數，隻有以它為底計算的一張對數表。有意思的是，曆史上是先有的對數，後來才發現對數與指數的關系，與現行教材次序恰好相反。實際上，直到1770年，歐拉才第一個指出“對數源于指數”，這時對數和指數已經發明一百多年了。

第一次把e看為常數的是雅各伯努利（Jacob Bernoulli)，但沒有證明.已知的第一次用到e的是戈特弗裡德·威廉·萊布尼茨（Gottfried Wilhelm Leibniz）于1690年和1691年的通信中有所提及，但以e表示常數是1727年歐拉開始的。

那麼，歐拉發現了這個自然常數e的呢？當時，歐拉試圖解決由另一位數學家雅各布·伯努利（Jakob Bernoulli‎）在半個世紀前提出的問題：假設在銀行存了1元，而銀行提供的年利率是100%,也就是說1年後連本帶息，你會得到2塊錢。那麼現在假設半年就計算一次利息，半年利率為50%即0.5，這種方案年中計息一次是本息一共1 1×0.5=1.5元，然後下半年連本帶息年末就為(1 0.5)2=2.25元，這樣就是一年2.25塊錢。那現在計算利率周期如果再短一些會怎麼？再來假設每個月結算一次，月利率為1/12，本息計算(1 1/12)12最終得到大約2.61304塊錢。看起來是利息的周期越短，收益就更好。不過雅各布.伯努利發現随着n趨于無窮，對于這樣的連續複利存在着一個極限值。

這個極限由50年後的歐拉計算出來小數點後18位:

e=2.71828182845904523，當時Euler的計算已是當代的極限,但現代計算機可以毫無困難地得到e= 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 6624977572 47093 69995 95749 66967 62772 40766 30353 54759 45713 82178 52516 64274…….

這在微積分的任何一本教程都能找到證明,用的單調有界的數列必存在極限.

它有另外的極限形式:

實際上，在數的發展史中，幾何發現往往是第一推動力，比如，π，√2的發現等，

e的發現雖然不是由幾何開始，但也可以有下面的幾何解釋:

設n個相同的長方形ABCD構成的長方形為ABEF,并設AB=x,BE=y,則有x2=n,y2=n(n 1),(y/n)2=1 1/n,

順變說一下，e的無理性和超越性都很難證，直到1873年法國數學家埃爾米特（Charles Hermite）才證明了e的超越性.但直到目前ee的超越性并不清楚。這些是數論的範疇,也比較艱深.

其實,e在數論,特别在素數分布中有着神奇的存在:

所有大于2的2n形式的偶數存在以e為中心的共轭奇數組，每一組的和均為2n，而且至少存在一組是共轭素數。可以說是素數的中心軸，隻是奇數的中心軸。

自然常數也和質數分布有關。有某個自然數a，則比它小的質數就大約有個。在a較小時，結果不太正确。但是随着a的增大，這個定理會越來越精确。這個定理叫素數定理，由高斯發現。

e在近代幾何中有着詭異的表現，首先來看在完全圖中的e的表現:

在圖論的數學領域，完全圖是一個簡單的無向圖，其中每對不同的頂點之間都恰連有一條邊相連。完整的有向圖又是一個有向圖，其中每對不同的頂點通過一對唯一的邊緣（每個方向一個）連接。n個端點的完全圖有n個端點以及n(n − 1) / 2條邊，以Kn表示。它是(k -1)-正則圖。所有完全圖都是它本身的團（clique）。

圖形理論本身以萊昂哈德歐拉于1736年在Königsberg七橋的工作開始。然而，完全圖的繪圖，其頂點放置在正多邊形的點上，已經在13世紀中出現。這樣的繪畫有時被稱為神秘玫瑰。

設完全圖内的路徑總數為W，哈密頓路總數為h，則

W/h=e.③

此規律更證明了e并非故意構造的，e甚至也可以稱呼為是一個完全率。與圓周率有一定的相類似性，好像極限完全圖就是圖論中的圓形，哈密頓路就是直徑似的，自然常數的含義是極限完全圖裡的路徑總數和哈密頓路總數之比。

再看e在凸體中的表現:

自Bartos在1968引入頂點角概念,蔣星耀在1987年證明了，任何n維單形Ωn的n 1個頂點角均成立不等式

此表明

至于e的級數表達式是常見的:

這個證明，任何一本高數的書上都有，就是Taylor公式的特例。

到于e和複數的聯系，以下公式非常有名，被陶哲軒，張益唐推崇。

這個等式神奇的地方在于，把高數中常用的三個著名的數e, i ,π 聯系到了一起，虛實相間，實虛運算最後歸實，符合哲理和思辨。

類似的例子還能舉出一些，也是挺有意思的表達。

1719年，意大利數學家法格納諾（Fagnano）得到

1997年，中國的建築師李明波得到

這個式子下面的一些等價形看起更好些。

比較不常見的是拉馬努金（漢語：斯裡尼瓦瑟·拉馬努金=泰米爾語：ஸ்ரீனிவாஸராமானுஜன்ஐயங்கார்=英語：SrinivasaRamanujan），

這是一個連分數的表達，在1913年，拉馬努金給英國著名數學家哈代（Hardy）去了一封長達9頁的信，信中附帶了120條拉馬努金自己發現的公式，上面這個公式就是其中的一條。這些公式沒有證明過程，據說大部分是拉馬努金心算求得，隻是拉馬努金短暫的一生令人唏噓，有關拉馬努金的故事可能參考電影《知無涯者》.

影片中詳細介紹了他給出了整數n的分拆函數P(n)的估計式，并證明了P(n)的漸近公式。這個公式從發現、證明、再到被數學家們認同經曆了很長時間的痛苦。他的工作對後來的數學家影響很大。

拉馬努金慣以直覺導出公式，不喜作證明，然而事後往往證明他是對的。他留下的那些沒有證明的公式，引發了後來的大量研究。

電影中還有一個非常有趣的片段，就是1729的故事，他與哈代一次乘坐1729牌号出租，他告訴哈代這是個有趣的數字，因為1729可以用兩個立方之和來表達而且有兩種表達方式的數之中，1729是最小的。(即1729= 13 123= 93 103，後來這類數稱為的士數。)電影末尾（拉馬努金去世後），哈迪與友人乘坐出租時，他把剛上車的友人從出租上拽下來去乘坐後一輛出租，它的牌号就是1729。

最後說一下,e在概率論中也有着神奇的應用，比如，維基百科中提到的“Derangements”問題：

将n個帽子，随機放入n個位置，假設每個帽子有一個預先設定的正确位置，那麼所有帽子全都“入錯”位置的概率是多少。我覺得，這和有n個整數，假定1,2,3,...,n。從小到大是一個自然的正确順序，那麼将這n個數打亂随機排列，那麼每一個數都跑到“其他人”的位置上的概率是多少？

可以有如下解法：首先n個數有n!種排列，其中全都對就一種，其概率為1/n!。

除去全錯誤後的排列數為：

則有

顯然有

此表明，這個概率的當n取不同的奇偶數值時，圍繞1/e來回擺動。

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1.《高考數學全觀》（上、下）（高考第一輪）教案及學案

2.《高考數學重觀》（高考第二輪）教案及學案

4.《中考數學微觀》教案及學案

5.人教版必修1—5全套教案及學案

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