圓錐曲線是高中解析幾何的重點和難點，運算量之大，相信所有經曆過的學生都有感觸，而正因為代數運算之繁瑣，更使得代數思維在圓錐曲線這個舞台上，有了極大的發揮空間。

最早研究圓錐曲線的集大成者是古希臘數學家阿波羅尼奧斯（約公元前262～190年），阿波羅尼奧斯在其著作《圓錐曲線論》中将圓錐曲線的性質幾乎網羅殆盡。當然，那個時候還沒有平面直角坐标系，更沒有解析幾何的概念，但其著作中已經有了坐标制的思想，直到1800多年後的17世紀，笛卡爾建立坐标系，創立解析幾何後，對圓錐曲線的研究才有了進一步的擴展。

阿波羅尼奧斯（約公元前262～190年）

高中階段對圓錐曲線的學習，還處于非常基礎的階段，圓錐曲線的性質可以列出數百條，本文僅對高考考點中涉及的橢圓的部分性質進行彙總。（雙曲線及抛物線的性質另文詳述，歡迎大家持續關注）

注：以下僅讨論焦點在x軸上的橢圓性質。

1.第一定義

平面内與兩定點F1、F2的距離的和為常數2a的動點P的軌迹叫做橢圓，其中2a>|F1F2|。此為課本上的标準定義，不再詳述。

2.第二定義

平面内到定點F（±c，0）的距離和到定直線l：x=±a²/c的距離之比為常數e=c/a（0<e<1）的點的軌迹是橢圓。其中定點F（±c，0）為橢圓的左右焦點，定直線l：x=±a²/c為橢圓的左右準線。

對第二定義給出證明：

以右焦點和右準線為例：

上述定義即可作為判定定理也可作為性質定理。

1.橢圓标準方程

不再詳述。

2.橢圓參數方程

其中θ為參數，θ的幾何意義如下圖：

以橢圓長軸和短軸為直徑分别做圓，針對橢圓上任一點M，分别向大圓與小圓做垂線，垂足分别為A，B，則ABO三點共線，∠AOx即為參數θ。

1.橢圓切線定理

橢圓的任意一條切線與切點處的兩條焦半徑所成的角相等。

如圖，F1、F2為橢圓兩焦點，AB為橢圓切線，P為切點，則∠APF1=∠BPF2。PT為P點法線，則PT為焦點三角形PF1F2的一條角平分線。

證明從略，該性質在高考中應用較少，但其揭示了橢圓的一條光學性質，該性質在高中數學課本上也有提及，即從橢圓的一個焦點發出的光線，經橢圓反射後，在另一個焦點彙聚

2.橢圓切線方程

過橢圓上一點P（x0，y0）的切線方程為：

以下用求導方法給出證明：

上述證明過程用到了隐函數求導，高中範圍不涉及該知識點，有興趣的同學可以嘗試用二次函數判别式推導。

3.橢圓切點弦方程

過橢圓外一點，做橢圓的兩條切線，切點為A，B，則過A，B的切點弦方程為：

過橢圓中心的弦被稱為橢圓的直徑。長軸是橢圓最長的直徑，短軸為橢圓最短的直徑。

1.橢圓直徑性質

橢圓上的點與橢圓直徑兩端點連線的斜率（如果存在的話）之積是定值，定值為e²-1。

特别的：橢圓上任意點到長軸（或短軸）兩端點連線斜率之積是定值e²-1。

2.橢圓直徑長

橢圓直徑長公式為：

其中k為直徑所在直線斜率。該公式請同學們自行推導。

特别的：當k=0時，上式結果為2a，即為長軸；當k趨于無窮大時，上式結果為2b，即為短軸。

1.焦半徑長

焦半徑長：|PF1|=a ex |PF2|=a-ex（F1，F2分别為左右焦點）

通過準線定義證明，過程略。

2.焦半徑性質

以焦半徑為直徑的圓與以長軸為直徑的圓内切。

證：設以PF1為直徑的圓的圓心為O1，則圓O1半徑為r1=(a ex)/2，

以長軸為直徑的圓的圓心為坐标原點O，圓O半徑為r=a，

兩圓心距離|OO1|=(a-ex)/2=r-r1，

故以PF1為直徑的圓與以長軸為直徑的圓内切。

同理可證，PF2同樣成立。

3.焦點弦長公式

焦點弦長公式為：

其中k為焦點弦所在直線斜率。該公式請同學們自行推導。

特别的：當k=0時，上式結果為2a，即為長軸；當k趨于無窮大時，上式結果即為通徑長：2b^2/a

4.焦點三角形

焦點三角形面積公式：

證明從略。

1.判别式

直線方程y=kx m與橢圓方程聯立後的，關于x的二次方程的判别式：

2.一般弦長公式

橢圓一般弦長公式：

上述公式推導過程從略，顯然，當m=0時，公式退化為直徑公式，m=±kc，即直線過焦點時，公式退化為焦點弦公式。

文|高見遠，轉載請注明出處。

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