本篇将傅裡葉變換，下面以FT簡稱。

網上有很多關于FT的文章，還有動畫，一系列首尾相連的棍子，甩啊甩。看着狂拽酷炫，然并卵，看完了覺得FT很牛逼，但依然不明白FT。怎麼一個好端端的函數，就是一系列正弦波了？什麼時域頻域，聽着高大上。

本文從最基本的三角級數開始，闡述FT的數學本質。内容非常硬核，如果隻想随便看看，搜搜FT的視頻，看看甩甩小棍子的即可。

FT在微積分中放在最後一章的最後一節，本身來講篇幅不多，概念、定理、推導過程都不多，隻是開了個頭。之後，FT在信号與系統中出現。但是，信号系統中，着重FT的應用。對FT的導出并不是它的重點。所以就FT的學習來講，是脫節的。微積分中不談FT的應用，導緻FT的意義沒有很好落實。信号系統中FT的導出又是不夠嚴謹的，導緻知其然不知其所以然。而FT的思想，微積分教材本身是不闡明的。所以，這就造成了對于每個工科學生來講，FT就是噩夢，稀裡糊塗的睡，稀裡糊塗的醒。

我們學FT，必須把各科的教材對應看。光看一冊是不夠全面的，自然無法體會FT的奧義。

首先：

• FT推導在于微積分，因為用到了定積分的概念，這是形而下。
• FT理解于線性代數，它的數學本質是線性空間的變換，這是形而上。
• FT應用于信号系統，這是形而下中下。

明白了這三點，學習FT就有了路。

其次，學FT，必須學它的根基。把基礎打紮實。FT的基礎是傅裡葉級數，傅裡葉級數的基礎是三角級數。所以，至少我學FT，一半以上的精力是花在三角級數。弄明白了三角級數的來龍去脈，FT是水到渠成的東西。

講三角級數前，還是得先回顧一下級數。級數是個好東西，它能把不好的變成好的。比如幂級數，一個非常好的用處就是能解方程，無論是超越方程還是微分方程。電路中，整流電路就是靠泰勒級數求解的。

級數又是一個非常反直覺的概念。舉幾個例子。首先就是大家耳熟能詳的

0.9999999999.... = 1

再來一個，條件收斂的常數項級數，調換項，可能導緻級數不收斂，也可能導緻收斂到其它值。簡單來講就是條件收斂的級數不符合加法交換律。乍一看非常神奇！從小學學起的加法交換律居然不成立了！

微積分中，級數還是一個非常重要的概念和理論。它能證明好多教材在前面中埋下的坑。如，如何判斷隐函數有函數，如何判斷微分方程有解，甚至有唯一解。

形式上來講，級數就是無窮個有規律的項的和。所以，我們可以用任何組合，隻要有規律的，都可以替代數或者函數。而剩下兩個問題：

1. 是否收斂于常數或者函數，（廢話，不收斂的要來幹啥）
2. 收斂速度，（當然越快越好）。

問題1，工科有福了，可以不管，有狄利克雷收斂條件保證。萬一不滿足，不要緊，有廣義FT。

問題2，FT不涉及。

為什麼函數要轉換成三角級數？這恐怕是第一個問題，暫且按下。我們要解決的是，如果表示成三角函數的級數，怎麼個形式？

下面是第一個想到的：

非常自然，但也是非常不好的。因為它不正交。不正交的問題在于非常難求系數。所以化成：

這個形式非常好，正交！非常容易求系數。

什麼是正交，為什麼正交是我們追求的，看下面的推導過程。

随之而來的第二個問題是，x是實數集，有正有負。為什麼到了三角函數的n，教材中隻取正整數？負的為什麼不要了？

原因很簡單，依然是正交。假設我們取了負數，有

可見，除了把系數弄的複雜化，沒有任何好處！

這個是形而上，需要重點把握的。

從線性代數的角度看，三角級數的本質是空間變換，将原本x空間的函數映射到三角函數空間。但不同于普通意義的線性代數，這裡變換的是函數，而不是一般的實數。

這是學習FT最重要的一點。FT的數學意義必須在線性代數的角度理解。但微積分受限于學科，往往教材不會點明這點。至于信号與系統，壓根不算數學書。然而線性代數的教材由于本身不涉及微積分，所以一般也不會說到FT。

細品上面的黑體文字！再給張圖

這就是一個線性變換，從左邊的f(x)，變到了，右邊的a0，a(n)，b(n)。而3個變換積分，就是線性代數中的“矩陣”！細品！

這裡要非常地岔開一下！！！

我們從初中收到的教育，y=f(x)，就是y是x的函數，就是映射。這個對學FT是一個非常大的阻礙。導緻總覺得FT非常不自然。一個函數居然能成為一系列正弦函數的和？！非常地匪夷所思。這個思想的根本問題在于，你還是站在初等數學的角度，或者說站在古典微積分的角度看函數這個概念。函數是x到y的映射。

就像你站在伽利略變換的角度，永遠無法理解狹義相對論。你站在均勻空間的角度，永遠無法理解廣義相對論，一樣。

抛棄函數這個概念！欲練神功，揮刀自宮！一切都是級數！一切都是無窮和！

在級數的眼裡，任何東西都是一串有規律的表達式的和，無窮和！我們借用信号系統裡，沖激函數的概念

明白了？即便在傳統意義上的函數，我們依然可以看成一系列有規律的表達式的和，這裡就是一串沖激函數的和，隻不過每個沖激函數都被調制了！在線性代數的角度，沖激函數就是基，而且是标準的不能再标準、簡單的不能再簡單的，正！交！基！

那麼三角級數，就是原本你是用沖激函數這組基線性組合的，現在我用三角函數這組基來搞線性組合，不可以嗎？站在線性代數的角度，當然可以！而且無比自然！

所以，學FT，首先要破除這個我們學了中學6年的函數的思想。将y=f(x)，不要看成一個表達式。充分理解了這點。那麼接下來的問題就是：

既然x能描述y，肯定不止x能描述y，能找到其他的表達式就行。

這就是線性代數的思想——空間變換！就是找到另一組正交基！這裡，由于三角函數系的正交性，自然而然就被我們選中！

稍微總結一下，體會一下，再繼續後面的推導過程！

總之，在級數的宇宙觀裡，沒有映射這個玩意兒。一切都是無窮和。加點線性代數的概念，一切都是一組無限維數的正交基的線性組合。充分理解這個觀點，直到你對

0.999999.... = 1

有了新的認識。

接着就是形而下的問題了，如何求系數。

在線性代數角度看，就是求解一個非常“稠密的”線性方程組。

碼字太煩，直接上圖

以上就是傅裡葉級數的三角級數形式。

教材中，包括信号系統的教材，把複數形式的傅裡葉級數，用歐拉公式，從三角級數推導。這個方法非常爛！

如果你充分理解了上面的過程。應該有一個問題：還有沒有其他的級數？或者站在線性代數的角度，還有沒有其他空間了？或者有沒有其他的正交基了？舔狗地講，哪怕不正交也行。答案是有的，女神可不隻三角函數一個！指數函數也可以組成正交基

這裡一個小問題是，為什麼指數函數可以有負數部分了？原因還是在于正交性！

三角函數中，由于負部分對三角函數構成冗餘，導緻基的非正交，所以我們舍棄了負的部分。而在指數函數中，如果要構成正交，必須引入負的部分。

接下去就可以用三角級數的過程，定積分的思想，推導複數級數。這裡略。

用這個思路去理解所謂的“傅裡葉級數的複數形式”！或者抛棄“傅裡葉級數”、“傅裡葉級數的複數形式”兩個名詞。着眼于“三角級數”、“複指數級數”兩個名詞，或許更能說明問題。

将歐拉公式看成一種偶遇，正好指數函數是三角函數的複數形式。假裝我們發現了新的正交基（複指數），并又滿懷豪情地推導了一把。

微積分中，對傅裡葉變換的描述非常少，甚至于标題都是傅裡葉積分。直接上圖

明白了三角級數的由來，明白了指數級數的由來。FT是無比自然的東西。就是在另一個空間考察函數！而“那個”空間，在信号系統課程裡，稱為頻域，原來的那個空間，稱為時域。而在數學裡，隻有空間，沒有時域頻域之分。

FT不容易學，原因是要學透它所需要的知識分散在不同的教材。需要融會貫通！

在線性代數的山頂，握着定積分的推導工具，俯視傅裡葉變換，俯視時域頻域！在我眼裡，隻有線性空間，隻有正交基，隻有線性組合。

體會到了這一點，就不難理解傅裡葉變換了。至于一串首尾相連的小棍子甩甩的，看看就好。

還有沒有其他的正交基？微積分裡沒有了，這回是真的沒有了。。。

還有一個拉普拉斯變換，簡單，将不收斂的變成收斂！就這麼一個目标。之前用的指數函數，指數是純虛函數，一直振蕩的。拉普拉斯就是将它用完全的複數當指數，使得有一個很強的收斂的包絡。

既然你看到這裡了，最後再說一個學FT的小竅門，掌握一門畫圖的工具，MATLAB或者Python（有matplotlib庫）。事半功倍！

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