三角形中位線性質定理的應用是中考的熱門考點之一，該定理常用來證明線段相等或計算線段的長度。學習該定理應掌握以下三個方面内容。

一、理解并掌握三角形中位線的性質定理。

1、三角形的中位線:連接三角形兩邊中點的線段叫三角形的中位線。

2、三角形中位線性質定理:三角形的中位線平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半。

3、命題證明:

1、分析命題:

題設:如果一條線段是三角形的中位線。

結論:那麼這條線段平行于三角形的第三邊且等于第三邊的一半。

2、畫出圖形:

分析與圖形有關詞語是:①三角形②中位線

3、寫出已知和求證

已知:△ABC中，點D、E分别是AB，AC的中點

求證:DE//BC，DE=1/2BC

4:證明:

分析:證明某線段等于另一線段的一半時，常常延長較短線段的一倍，再證明線段相等。證明線段相等常用方法是三角形全等，本次利用平行四邊形對邊相等證明線段相等。

證明:延長DE到F，使DE=EF，連結CF。

∵AE=EC，DE=EF

∴四邊形ADCF是平行四邊形

∴AD//CF且AD=CF

∴BD//CF且BD=CF

∴四邊形BCFD為平行四邊形

∴DF=BC且DF//BC

∵DE=1/2DF

∴DE//BC且DE=1/2BC。

例1、已知在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中點，F，G分别是AD，AE的中點，且FG=2cm，則BC長是多少？

解∵F，G為AD，AE中點

∴DE=2FG=2×2=4cm

同理BC=2DE=2×4=8cm。

例2、如圖，D是△ABC内一點，BD丄CD，AD=7，BD=4，CD=3，E，F，G，H分别是AB，

BD，CD，AC的中點，則四邊形EFGH的周長為( )A，12 B，14 C，24 D，21

解:∵BD丄CD

∴∠BDC=90°

在Rt△ADC中，BD=4，CD=3

由勾股定理可得BC=√BD² CD²=√4² 3²=5

∵E，F分别是AB，BD的中點，

∴EF=1/2AD=1/2×7=3.5

同理HG=1/2AD=3.5

EH=FG=1/2BC=1/2×5=2.5

∴四邊形EFGH周長=2×(3.5 2.5)=12

二、應用三角形中位線性質解決四邊形的有關問題

例1、順次連接四邊形各邊中點所成的四邊形一定是平行四邊形。

已知:如圖，在四邊形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD中點，求證:四邊形EFGH為平行四邊形。

分析:當題中有中點時，特别是有兩個中點時，如果中點在一個三角形中，直接用三角形中位線定理；如果不在一個三角形中，則需要連結四邊形的對角線，構造三角形，再利用三角形中位線解答問題。

證明:連結AC

∵E，F分别是AB，BC中點，

∴EF//AC且EF=1/2AC

同理HG//AC且HG=1/2AC

∴EF//HG且EF=HG

∴四邊形EFGH為平行四邊形。

例2、如圖:在△ABC中，延長BC至D，

使CD=1/2BC，過AC的中點E作EF//CD(點F位于點E右側)且EF=2CD，連接DF，若AB=8，則DF長為( )

A，3 B，4 C，2√3 D，3√2

分析:延長FE交AB于點M，則M為AB中點。從而可得BD=MF，又因為EF//CD，可得BDFM為平行四邊形，從而得

DF=BM=1/2AB=1/2×8=4

三、三角形中位線常見題型。

例1、(2019，湖州中考題)如圖，已知在△ABC中，D，E，F分别是AB，BC，AC的中點，連接DF，EF，BF。

(1)求證:四邊形BEFD是平行四邊形

(2)若∠AFB=90°，AB=6，求四邊形BEFD的周長。

證明:(1)∵D，F為AB，AC中點

∴DF//BC，同理EF//AB

∴四邊形BEFD為平行四邊形。

解(2)∵∠AFB=90°，又∵D為AB中點。

∴DF=1/2AB=1/2×6=3(直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。這一定理在矩形性質一節)

BD=1/2AB=1/2×6=3

∴平行四邊形BEFD周長=2×(3 3)=12

例2、在△ABC中，M是BC的中點，AD平分

∠BAC，BD丄AD于點D，AB=10，AC=14，

求DM的長。

分析:當題中隻有一個中點時，需要添加輔助線，構造三角形的中位線。因為AD丄BD，且平分∠BAD可得△BAE為等腰三角形，D為BE中點。

解:延長BD交AC于點E。

∵AD丄B，AD平分∠BAC

∴△BAE為等腰三角形

∴AE=AB=10，D為AE中點

∴CE=AC－AE=14－10=4

∵M為AC中點，D為AE中點

∴DM=1/2CE=1/2×4=2

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