上一篇學習了導數與微分的概念，今天來應用導數。導數在工程學，物理學，生物學及社會科學等領域有廣泛應用。

第1節，主要講兩大定理：

• 極小值：設f(x)在鄰域U(x0)有定義，若對任意x∈U(x0)，有f(x)≥f(x0) ，則稱f(x0)是函數在U(x0)的極小值，x0是極小值點。同理定于極大值。極大值，極小值統計極值。
• 對于極值概念，必須說明是函數的局部性質，定義是鄰域，不是整個定義域。當在整個定義域滿足極值定義的不等式時，就變為了函數的最值。極值是局部性質，最值是全局性質，這就是極值與最值的關系。
• 費馬定理：若f(x)在點x0可導，且x0是f(x)的極值點，則f`(x0)=0
• 費馬定理的幾何意義：若函數f(x)在極值點x0可導，則曲線y=f(x)在（x0,f(x0)）存在切線，且切線斜率=0；滿足f`(x0)=0 的點x0稱為駐點或穩定點
• 達布定理(導數界值定理)：設f(x)在[a,b]上可導，且f` (a)≠f`-(b)，η介于f` (a)，f`-(b)之間，則存在ξ∈(a,b)，使得f`(ξ)=η。注意：該定理并不需導函數連續的條件

第2節，中值定理：

• 羅爾中值定理：若f(x)在[a,b]上連續，f(x)在（a,b）上可導，f(a)=f(b)，則存在ξ∈(a,b)，使得f`(ξ)=0
• 拉格朗日中值定理：若f(x)在[a,b]上連續，f(x)在（a,b）上可導，則存在ξ∈(a,b)，使得f`(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)
• 拉格朗日中值定理推論：若f(x)在[a,b]上連續，f(x)在（a,b）上可導，則f(x)是區間上的常值函數<==>在（a,b），f`(x)≡0
• 柯西中值定理：若f(x)，g(x)在[a,b]上連續，f(x)，g(x)在（a,b）上可導，對任意x∈（a,b），有g`(x)≠0，則存在ξ∈(a,b)，使得f`(ξ)/g`(ξ) = (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))
• 三個中值定理的關系：羅爾中值定理<--條件加強特殊化--拉格朗日中值定理--雙函數化-->柯西中值定理。當然應該關注這三個中值定理的幾何意義，這樣有助于我們的理解

第3節，不定式極限：利用導數理論求某些函數的極限

• 不定式類型，lim f(x)，lim g(x) 同時趨向x0時，極限或為0，或為∞，求∞/∞，∞-∞，0·∞，0^0，1^∞，∞^0型的不定式極限
• 0/0型洛必達法則1：f(x) ，g(x）都在（a,a δ) δ>0 内可導，且 g`(x)≠0 ，lim f(x) = lim g(x) =0 x->a ,
• lim f`(x)/g`(x) =A x->a ,則lim f(x)/g(x) x->a = lim f`(x)/g`(x) =A x->a
• 0/0型洛必達法則2：f(x) ，g(x）都在（a, ∞) 内可導，且 g`(x)≠0 ，lim f(x) = lim g(x) =0 x-> ∞ ,
• lim f`(x)/g`(x) =A x-> ∞ ,則lim f(x)/g(x) x-> ∞ = lim f`(x)/g`(x) =A x-> ∞
• ·/∞型洛必達法則：f(x) ，g(x）都在（a,a δ) δ>0 内可導，且 g`(x)≠0， lim g(x) =∞ x->a ,lim f`(x)/g`(x) =A x->a 則lim f(x)/g(x) x->a = lim f`(x)/g`(x) =A x->a
• ∞/∞型洛必達法則：f(x) ，g(x）都在（a,a δ) δ>0 内可導，且 g`(x)≠0 ，lim f(x) =∞ lim g(x) =∞ x->a ,lim f`(x)/g`(x) =A x->a ,則lim f(x)/g(x) x->a = lim f`(x)/g`(x) =A x->a
• 對于∞-∞等其他類型，轉化為上集中形式求解，另外，注意多結合四則運算和高階無窮小替換求解

第4節，泰勒公式：泰勒公式很重要，對複雜函數，用多項式近似表達會比較好研究，泰勒公式就是溝通了函數與多項式的工具，這是一種逼近

• Tn(x) = f(x0) f`(x0)(x-x0) f``(x0)/2! (x-x0)^2 ... f^(n)(x0)/n! (x-x0)^n ,這個稱為泰勒公式
• 帶Peano型餘項的泰勒公式定理：若f(x)在x0處n階可導，則 f(x) = Tn(x) o((x-x0)^n) x->x0
• 特别地，當x0=0時，帶Peano型餘項的泰勒公式 稱為帶Peano型餘項的麥克勞林公式
• 帶拉格朗日型餘項的泰勒公式定理，又稱泰勒中值定理：若f(x)在鄰域(x0)有n 1階導，則對任意的x∈U。(x0)，存在ξ介于x與 x0之間，使得 f(x)=Tn(x) f^(n 1)(ξ)·(x-x0)^(n 1)/(n 1)!
• 特别地，當x0=0時，帶拉格朗日型餘項的泰勒公式 稱為 帶拉格朗日型餘項麥克勞林公式
• 注意熟悉初等函數的麥克勞林公式
• 泰勒公式的應用：近似計算，求函數極限，證明不等式，求高階導在某點的值

第5節，函數的單調性與凸性：利用導數讨論單調性與凸性的關系

• 單調性定理：設f(x)在(a,b）内可導，則f(x)在(a,b）遞增 <==> 對任意x∈(a,b），f`(x)≥0 ；遞減同理成立
• 嚴格單調性定理：設f(x)在(a,b）内可導，則f(x)在(a,b）嚴格遞增 <==> 對任意x∈(a,b），f`(x)≥0 且f`(x)在任何子區間上不恒為0 ；嚴格遞減同理成立
• 下凸函數：設f是定義于區間I上的函數，若對I上任意兩點x1,x2及任意實數λ∈(0,1)，總有 f(λx1 (1-λ)x2)≤λf(x1) (1-λ)f(x2)
• 上凸函數：設f是定義于區間I上的函數，若對I上任意兩點x1,x2及任意實數λ∈(0,1)，總有 f(λx1 (1-λ)x2)≥λf(x1) (1-λ)f(x2)
• 凸性定理1：f(x)在I為下凸函數<==>對I上任意三點 x1<x2<x3，總有 [f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]≤[f(x3)-f(x2)]/[x3-x2]
• 凸性定理推論：f(x)在I為下凸函數<==>對I上任意三點 x1<x2<x3，總有 [f(x2)-f(x1)]/[x2-x1]≤[f(x3)-f(x1)]/[x3-x1]≤[f(x3)-f(x2)]/[x3-x2]
• 凸性定理2：若f(x)在(a,b)内為下凸函數，則f(x)在(a,b)内連續，且單側導數處處存在。建立了導數，連續，下凸的關系
• 凸性定理3：設f(x)在區間I可導，則以下論斷等價： 該定理建立了下凸和單調的關系
• 1）f(x)是I上的下凸函數

2）f`(x)是I上的單調遞增函數

3）對任意x1,x2∈ I ，總有 f(x2)≥f(x1) f`(x1)(x2-x1)

• 凸性推論：若f(x)是I 上的二階可導，則f(x)是I上的下凸函數 當且僅當 f``(x)≥0，x∈I
• 說明：由于上凸函數 與 下凸函數的關系：設f(x)是I上的上凸函數，當且僅當，-f(x)是I的下凸函數，故以上定理隻讨論下凸的情況
• 拐點：設f(x)在x0連續，若函數在x0左右兩側的上下凸性相反，則點（x0,f(x0)）為拐點
• 拐點定理：若f(x）在點x0二階可導，（x0,f(x0)）為函數的拐點，則f``(x0)=0
• 單調性與凸性的應用：證明一些不等式，如，詹森不等式，平均值不等式

第6節，函數的極值與最值：專門讨論極值判别法

• 極值第一判别法：設f(x)在點x0連續，在x0的某去心鄰域U。(x0)可導，若對任意x∈U。-(x0)，f`(x)≥0，對任意x∈U。 (x0)，f`(x)≤0, 則x0是極大值點；若對任意x∈U。-(x0)，f`(x)≤0，對任意x∈U。 (x0)，f`(x)≥0, 則x0是極小值點；若f`(x)在該鄰域内恒正 或恒負，則該點不是極值點
• 極值第二判别法：設f(x)在點x0二階可導，且f`(x0）=0，則 當f``(x0)>0 時，x0是極小值點；則 當f``(x0)<0 時，x0是極大值點
• 最值：在連續閉區間上，必有最值。最值是從（函數所有穩定點，不可導點，區間端點）的函數值中産生的

第7節，函數作圖：分析函數的各種性态和趨勢來作圖：

• 漸進性：垂直漸近線 和 斜漸近線
• 函數圖形的描繪：描點法
• 1）确定函數定義域，奇偶性，周期性，有界性，求函數的一階導，二階導。
• 2）找出函數的所有零點，間斷點和一二階導不存在點，再根據定義劃分成若幹個子區間。
• 3）确定子區間部分區間内的一二階導的符号，并由此确定函數的單調性，凸型，極值點和拐點
• 4）确定函數圖形的漸近線
• 5）計算出每段的特殊點，關鍵點，典型點，用平滑曲線連接相應點

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