大家好！今天老黃要利用拉格朗日中值定理來證明兩個比較重要的不等式，這兩個不等式在以後的學習中可能會用到，所以一定要把它們理解并且記起來哦。這兩個不等式分别如下：

(1)(b-a)/a<ln(b/a)<(b-a)/a, 其中0<a<b；(2)h/(1 h^2)<arctanh<h, 其中h>0.

第一個不等式可以理解為：假分數的自然對數，大于1減去這個假分數的倒數，小于這個假分數減去1。當然，這裡的b/a未必就是 分數，它還有可能是一個無理數。我們這樣說，隻是為了記憶起來方便罷了。

觀察這個不等式，中間的自然對數可以寫成：兩個自然對數的差lnb-lna。因此，我們可以考慮取自然對數為輔助函數，而自然對數函數在[a,b]上是連續的，在(a,b)上是可導的，這就符合拉格朗日中值定理的條件了。

從而知道在(a,b)上存在一個點ξ，使得f'(ξ)=(lnb-lna)/(b-a)，而lnx的導數是1/x，所以f'(ξ)=1/ξ, 從而有(lnb-lna)/(b-a)=1/ξ. 又1/b<1/ξ<1/a，所以1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a, 不等式同時乘以(b-a)，就可以得到(b-a)/a<ln(b/a)<(b-a)/a. 第一個不等式證明過程如下：

(1)證：ln(b/a)=lnb-lna；

記f(x)=lnx, 則f(x)在[a,b]上連續, 在(a,b)上可導,

由拉格朗日中值定理知，存在一點ξ∈(a,b)，使得

f'(ξ)=(lnb-lna)/(b-a)=1/ξ,

又1/b<1/ξ<1/a，所以1/b<(lnb-lna)/(b-a)<1/a,

所以(b-a)/a<ln(b/a)<(b-a)/a.

第二個不等式可以理解為：正數的反正切函數值小于正數本身，又大于1加上這個正數的平方分之這個正數。用自己的語言說一說，能夠有效地幫助理解和記憶。

這次我們要構造的輔助函數是反正切函數。它在[0,h]上連續，在(0,h)上可導，因此根據拉格朗日中值定理就可以知道，在(0,h)上存在一個點ξ，使得f'(ξ)=(arctanh-arctan0)/(h-0)=arctanh/h. 又反正切函數arctanx的導數為1/(1 x^2)，所以f'(ξ)=1/(1 ξ^2). 而1/(1 h^2)<(1 ξ^2)<1, 所以1/(1 h^2)<arctanh/h<1, 兩邊同時乘以h，就可以得到要證明的不等式了。第二個不等式證明過程如下：

(2)證：記f(x)=arctanx, 則f(x)在[0,h]上連續, 在(0,h)上可導,

由拉格朗日中值定理知，存在一點ξ∈(0,h)，使得

f'(ξ)=arctanh/h=1/(1 ξ^2).

又1/(1 h^2)<(1 ξ^2)<1, 所以1/(1 h^2)<arctanh/h<1,

所以h/(1 h^2)<arctanh<h.

我們不僅要記住這兩個不等式，還要理解它的證明過程哦。

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