三角形重心是三角形三條中線的交點，是一個非常特殊的點，具有很多特殊的性質。有些涉及重心的問題，直接使用這些性質會事半功倍。下面簡要總結一下。

1.三角形重心到頂點的距離與重心到對邊中點的距離之比為2：1

△ABC中，AD、BE、CF分别為BC、AC、AB邊上的中線，交點為O。則AO：OD=BO：OE=CO：OF=2:1

證明：

如圖，連接EF與AD交于G，由三角形中位線定理知，EF∥BC。又因E為AC中點，因此G是AD中點。

因為△EOG∽△BOD，且相似比為1：2，因此可計算出：

AG：GO：OD=3:1:2，于是AO：OD=2：1。其他同理。

這個定理在一些給出重心要求計算邊長關系的問題中相當有用。

2.三角形的重心和三個頂點組成的三個三角形面積相等

△ABC中，AD、BE、CF分别為BC、AC、AB邊上的中線，交點為O。則S△AOB=S△BOC=S△COA

證明：先證S△AOB=S△BOC，其他同理。

（計算三角形面積基本上要做“高”的輔助線）

因為△AOB=△BOC同底，因此其面積比等于高長比

過A做AP⊥BE于 P，過C做CQ⊥BE延長線于Q。

因E是AC中點，AE=CE，由AAS定理易得△AEP≌△CEQ

因此AP=CQ

S△AOB：S△BOC=AP：CQ=1，因此S△AOB=S△BOC

3.三角形的重心是三角形内到三邊距離之積最大的點。

如圖，O是△ABC内一點，O到三條邊的距離分别為h₁、h₂、h₃。

求證：當O為△ABC的重心時，h₁•h₂•h₃取最大值

證明：設三角形三條邊長分别為a、b、c，連接AO、BO、CO。

S△ABC= S△AOB S△BOC S△COA =1/2（a•h₁ b•h₂ c•h₃）

給定了△ABC，那麼S△ABC是定值，三邊長a、b、c也是定值。

變化的是O的位置，也就是h₁、h₂、h₃是變量。

若求h₁•h₂•h₃的最大值，那麼最直觀的是使用基本不等式。

利用不等式的思想就是：“将變量向定量上湊”。

因為給定的定量是三角形的邊長和面積，那麼就要湊出

h₁•h₂•h₃≤X（X是定值）的形式，且一定是朝着

S△ABC=1/2（a•h1 b•h2 c•h3）的方向做變換

積與和之間的基本不等式為：幾何平均數≤算數平均數

當有兩個變量時，其形式為：

當有三個變量時，其形式為：

于是我們可以得到：

（當且僅當ah₁=bh₂=ch₃時等号成立，等号成立的條件極其重要）

那麼，無需繼續進行計算，隻需要知道當ah₁=bh₂=ch₃時，h₁•h₂•h₃取最大值即可。

那麼此時S△AOB=S△BOC=S△COA，即O是重心。

因此，當O為△ABC重心時，到三邊距離之積最大。

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