高等代數知識結構

一、高等代數知識結構圖

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二、高等代數知識結構内容

（一）線性代數：

工具：線性方程組

1.行列式：

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乘此行列式。

性質3.如果某一行是兩組數的和，那麼這個行列式就等于兩個行列式的和，而這兩個行列式除這一行以外與原行列式的對應行一樣。

性質4.如果行列式中兩行相同，那麼行列式為零。（兩行相同就是說兩行對應元素都相同)

性質5.如果行列式中兩行成比例。那麼行列式為零。

性質6.把一行的倍數加到另一行，行列式不變。

性質7.對換行列式中兩行的位置，行列式反号。

2.矩陣：

a.矩陣的秩：矩陣A中非零行的個數叫做矩陣的秩。

b.矩陣的運算

定義 同型矩陣：指兩個矩陣對應的行數相等、對應的列數相等的矩陣．　

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矩陣的等價變換形式主要有如下幾種：

1）矩陣的i行（列）與j行（列）的位置互換；

2）用一個非零常數k乘矩陣的第i行（列）的每個元；

3）将矩陣的第j行（列）的所有元得k倍加到第i行（列）的對應元上去。

3.線性方程組

一般線性方程組.這裡所指的一般線性方程組形式為

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a.線性方程組的解法

1)消元法

在初等代數裡，我們已經學過用代入消元法和加減消元法解簡單的二元、三元線性方程組.實際上，這個方法比用行列式解方程組更具有普遍性.但對于那些高元的線性方程組來說，消元法是比較繁瑣的，不易使用.

2)應用克萊姆法則

對于未知個數與方程個數相等的情形，我們有

定理1 如果含有

個方程的

元線性方程組

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4.向量相關性

a.判斷向量組線性相關的方法

1)線性相關

2)的對應分量成比例線性相關

3)含有零向量的向量組是線性相關的

4)向量組線性相關該組中至少有一個向量可由其餘的向量線性表出5)部分相關則整體相關

6)設向量組可由向量組線性表出,如果r>s,則線性相關；

7)n 1個n維向量必線性相關(個數大于維數)

8)該向量組的秩小于它所含向量的個數向量組線性相關

9)n個n維的向量構成的行列式=0 該向量組是線性相關的

10)線性相關向量組中每個向量截短之後還相關

b.判斷向量組線性無關的方法

1)線性無關

2)的對應分量不成比例 線性無關

3)向量組線性無關該組中任何一個向量都不能由其餘的向量線性表出

4)整體無關則部分無關

5)線性無關向量組中每個向量加長之後還無關

6)該向量組的秩等于它所含向量的個數 向量組線性無關

7)n個n維的向量構成的行列式0 該向量組是線性無關的

(二)中心課題：線性規範型

1.二次型 線性流型：

二次型及其矩陣表示

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