【知識要點】

要點一、消元法

1.消元思想：二元一次方程組中有兩個未知數，如果消去其中一個未知數，那麼就把二元一次方程組轉化為我們熟悉的一元一次方程，我們就可以先求出一個未知數，然後再求出另一個未知數. 這種将未知數由多化少、逐一解決的思想，叫做消元思想.

2.消元的基本思路：未知數由多變少.

3.消元的基本方法：把二元一次方程組轉化為一元一次方程.

要點二、代入消元法

通過“代入”消去一個未知數，将方程組轉化為一元一次方程，這種解法叫做代入消元法，簡稱代入法．

要點诠釋：

(1)代入消元法的關鍵是先把系數較簡單的方程變形為：用含一個未知數的式子表示另一個未知數的形式，再代入另一個方程中達到消元的目的．

(2)代入消元法的技巧是：

①當方程組中含有一個未知數表示另一個未知數的代數式時，可以直接利用代入法求解；

②若方程組中有未知數的系數為1(或-1)的方程．則選擇系數為1(或-1)的方程進行變形比較簡便；

③若方程組中所有方程裡的未知數的系數都不是1或-1，選系數絕對值較小的方程變形比較簡便．

要點三、加減消元法解二元一次方程組

兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，将兩個方程的兩邊分别相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法．

要點诠釋：用加減消元法解二元一次方程組的一般步驟：

(1)方程組的兩個方程中，如果同一個未知數的系數既不互為相反數，又不相等，那麼就用适當的數乘方程的兩邊，使同一個未知數的系數互為相反數或相等；

(2)把兩個方程的兩邊分别相加或相減，消去一個未知數，得到一個一元一次方程；

(3)解這個一元一次方程，求得一個未知數的值；

（4)将這個求得的未知數的值代入原方程組中的任意一個方程中，求出另一個未知數的值，并把求得的兩個未知數的值用“大括号”聯立起來，就是方程組的解．

【典型例題】

類型一、用代入法解二元一次方程組

【例1】用代入法解方程組：

.

【思路點撥】直接将上面的式子代入下面的式子，化簡整理即可.

【答案與解析】

解：

将①代入②得：

③

去括号，移項，合并，系數化1得：

④

把④代入①得：

∴ 原方程組的解為：

【總結升華】當方程組中出現一個未知量代替另一個未知量的方程時，一般用直接代入法解方程組.

舉一反三：

【變式】若方程y＝1－x的解也是方程3x＋2y＝5的解，則x＝____，y＝____.

【答案】3，﹣2.

【例2】用代入法解二元一次方程組：

【思路點撥】觀察兩個方程的系數特點，可以發現方程②中x的系數為1，所以把方程②中的x用y來表示，再代入①中即可.

【答案與解析】

解：由②得x＝5-y ③

将③代入①得5(5-y)-2y-4＝0，

解得：y＝3，把y＝3代入③，得x＝5-y＝5-3＝2

所以原方程組的解為

．

【總結升華】代入法是解二元一次方程組的一種重要方法，也是同學們最先學習到的解二元一次方程組的方法，用代入法解二元一次方程組的步驟可概括為：一“變”、二“消”、三“解”、四“代”、五“寫”．

舉一反三：

【變式1】與方程組

有完全相同的解的是（ ）

A．x y－2=0

B．x 2y=0

C．(x y－2)(x 2y)=0

D．

【答案】D

【變式2】若∣x－2y＋1∣＋(x＋y－5)2＝0，則 x= ， y= .

【答案】3,2

類型二、由解确定方程組中的相關量

【例3】方程組

的解

的值相等，則

的值是 .

【思路點撥】将

代入上式，可得

的值，再代入下面的方程可得

值.

【答案】1

【解析】

解：

将

代入②得

，再代入①得

.

【總結升華】一般地，先将k看作常數，解關于x，y的二元一次方程組再令x=m或y=m，得到關于m的方程，解方程即可．

舉一反三：

【變式】若方程組

的解x與y相等，求k.

【答案】将

代入上式得

，再代入下式得

.

【例4】若方程組

的解為

，試求

的值.

【答案與解析】

解：将

代入得

，即

，

解得

.

【總結升華】将已知解代入原方程組得關于

的方程組，再解關于

方程組得

的值.

類型三、加減法解二元一次方程組

【例5】直接加減：(蕪湖)解方程組

【思路點撥】注意到方程組中y的系數互為相反數，可将兩個方程直接相加即可消元．

【答案與解析】

解：① ②，得6x＝18，解得x＝3．

将x＝3代入②，得4×3-3y＝11，解得

．

所以原方程組的解為

．

【總結升華】如果兩個方程中某個未知數的系數的絕對值相等，可将兩個方程直接相加或相減，即可消去這個未知數．

【例6】先變系數後加減：

【思路點撥】注意到方程組中x的系數成2倍關系，可将方程①的兩邊同乘2，使兩個方程中x的系數相等，然後再相減消元．

【答案與解析】

解：②－①×2，得13y＝65．解得y＝5．

将y＝5代入①，得2x-5×5＝-21，解得x＝2．

所以原方程組的解為

．

【總結升華】如果兩個方程中未知數的系數的絕對值不相等，但某一未知數的系數成整數倍，可将一個方程的系數進行變化，使這個未知數的系數的絕對值相等．

舉一反三：

【變式】解方程組：

【答案】

解： (1)×3：6x 15y=21 (3)

(2)×2：6x 4y=10 (4)

(3)－(4)：11y=11

y=1

代入(1)：2x 5=7

2x=2

x=1

∴

【例7】建立新方程組後巧加減：解方程組

【思路點撥】注意到兩個方程中兩個未知數的系數的和相等、差互為相反數，所以可将兩個方程分别相加、相減，從而得到一個較簡單的二元一次方程組．

【答案與解析】

解：① ②，得7x 7y＝7，整理得x y＝1． ③

②－①，得3x-3y＝-15，整理得x-y＝-5． ④

解由③、④組成的方程組

得原方程組的解為

【總結升華】解方程組時，我們應根據方程組中未知數的系數的特點，通過将兩個方程相加或相減，把原方程組轉化為更簡單的方程組來解．

【例8】先化簡再加減：解方程組

【思路點撥】方程組中未知數的系數是分數或小數，一般要先化成整數後再消元．

【答案與解析】

解：①×10，②×6，得

③×3-④，得11y＝33，解得y＝3．

将y＝3代入③，解得x＝4．

所以原方程組的解為

【總結升華】當二元一次方程組的形式比較複雜時，通常是先通過變形(如去分母、去括号等)，将它化為形式簡單的方程組，再消元求解．

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