文藝複興時期的數學家首先提出了虛數的概念。

在丹·布朗（Dan Brown）2003年的超級暢銷懸疑驚悚小說《達芬奇密碼》中，書中的主人公羅伯特·蘭登（Robert Langdon）和密碼學家索菲·奈芙（Sophie Neveu）之間有一點巧妙地應答，她在書中表達了對“信仰中包含奇迹般的事件”的宗教信徒的價值的懷疑。她冷笑道：“看來他們的真實是假的。”

蘭登笑着說：“這些想法就像數學密碼學家相信虛數‘i’能幫助他們破解密碼一樣。”

對于我們這些不懂數學的人來說，蘭登的笑話有點令人費解。當他說一個數是虛數時，他到底在說什麼？這怎麼可能呢？

然而事實證明，虛數基本上是一個數，平方後會得到負數。确實是數學中的一種東西，最早是在15世紀和16世紀被發現的，用來解決某些令人困惑的方程。雖然最初被認為是一種室内把戲，但在此後的幾個世紀裡，它們被視為一種以複雜的方式将世界概念化的工具。如今，它們在從電子工程到量子力學等領域都很有用。

新墨西哥州獨立研究機構聖達菲研究所的物理學家克裡斯托弗·摩爾（Cristopher Moore）解釋說：“我們發明虛數的原因和我們發明負數的原因是一樣的。”他在2011年與斯蒂芬·默滕斯(Stephan Mertens)合著了《計算的本質》一書。

摩爾繼續說：“從普通的算術開始，二減七等于幾？如果你從沒聽說過負數，那就說不通了，就可能回答不上。你不能有-5個蘋果，對吧？但是可以這樣想，你可以欠我5個蘋果，或者5美元。一旦人們開始做會計和簿記，我們就需要這個概念。”類似地，今天我們都很熟悉這樣的想法：如果我們開大額支票去買東西，但沒有足夠的錢來支付，我們的銀行賬戶就會出現負餘額。

摩爾說：“另一種看待負數的方法，這稍後會派上用場，是想象在城市附近散步。如果你從我們的目的地向相反的方向拐錯了彎。比方說，向南走了5個街區，而你本來應該向北走，你就可以把它想象成向北走了5個負的街區。”

摩爾表示：“通過發明負數，它可以擴展你的數學世界，使你能夠談論以前很難的事情。”

虛數和複數，也就是包含虛數成分的數字，是這種創造性思維的另一個例子。正如摩爾解釋的那樣：“如果我問你，9的平方根是多少？這很簡單，對吧？答案是3。盡管它也可以是- 3，因為兩個負數相乘得到的結果是正的。”

但是-1的平方根是多少？有沒有一個數，乘上它自己，得到-1 ？摩爾說：“在某種程度上，沒有這樣的數字。”

但文藝複興時期的數學家想出了一個聰明的方法來解決這個問題。摩爾繼續說：“在我們發明負數之前，沒有2-7這樣的式子。所以也許我們應該發明一個等于-1的平方根的數字，我們給它起個名字：i。”

一旦他們想出了虛數的概念，數學家們就會發現他們可以用它做一些很酷的事情。記住一個正數乘以一個負數等于一個負數，但是兩個負數相乘等于一個正數。但是當你開始用i乘以7，然後再乘以i會發生什麼？因為i乘以i是-1，答案是-7。但如果你用7乘以i乘以i乘以i乘以i，突然得到正7。摩爾指出：“它們相互抵消了。”

現在想想，你取一個虛數，多次代入方程，最後得到一個你在現實中經常用到的實數。

美國賓夕法尼亞州立大學的教授和數學系主任馬克·列維（Mark Levi）解釋道：“直到幾百年後的19世紀初，數學家們才發現了另一種理解虛數的方法，即把虛數看作平面上的點。”他是2012年出版的《為什麼貓能站穩腳：以及76個其他物理悖論和謎題》一書的作者。

列維說：“當我們把數字想象成直線上的點，然後加上第二個維度時，那個平面上的點就是虛數。”

他解釋道：“想象一條數軸，當你考慮一個負數時，直線上距離正數是180度。兩個負數相乘，把它們的角相加，180度加上180度，就得到360度。這就是為什麼它是有意義的存在。”

但是你不能把-1的平方根放在X軸上，這是行不通的。但是，如果你創建了一個垂直于X的Y軸，你就有地方放它了。

當你考慮虛數時，Y軸是有用的，因為你不能把根号-1放在X軸上。

雖然虛數似乎隻是一群數字，使人眼花缭亂，但它們實際上是非常有用的，對于世界上某些重要的現代技術發達的計算而言，如計算飛機機翼的氣流，從阻力或找出流失能量結合在一個電力系統振蕩。小說虛構人物的羅伯特·蘭登提到它們也用于密碼學時，他可不是在逗我們。

在洛斯阿拉莫斯國家實驗室從事量子計算算法研究的物理學家羅蘭多·索馬(Rolando Somma)解釋說：“帶虛分量的複數在理論物理中也很有用。”

索馬說：“由于它們與三角函數的關系，它們在描述，例如，周期函數時很有用。這些是波動方程的解，所以我們用複數來描述各種波，比如電磁波。因此，和數學一樣，物理中的複雜微積分是簡化計算的極其有用的工具。”

複數在量子力學中也有作用，量子力學是一種在原子和亞原子粒子尺度上描述自然行為的理論。

索馬表示：“在量子力學中，‘i’明确地出現在Schrödinger的方程中。因此，複數似乎在量子力學中扮演着更基本的角色，而不僅僅是一個有用的計算工具。”

他繼續說：“量子系統的狀态可以用它的波函數來描述。作為薛定谔方程的解，這個波函數是某些狀态的疊加，疊加中出現的數字是複雜的。例如，量子物理中的幹涉現象可以很容易地用複數來描述。”

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