• 彭羅斯拼圖上的十二面體

當我們讨論數學的美及其對稱性時，我們經常忽略它們到底是什麼（本質是什麼）。在這篇文章中，我将介紹被稱為群論的數學研究，它是被稱為抽象代數和現代代數領域的基礎。

三角形的對稱性

我将從三角形的對稱性開始，作為一種粗略的方式來理解即将到來的術語。我要做的就是從基本幾何中提煉出一般意義。

定義1：三角形，三角形是平面内任何三個唯一的點，或平面内任何三條唯一直線所圍成的區域。

定義2：等邊三角形，如果一個三角形的三條邊長度相等，我們就說這個三角形是等邊的。

根據基本幾何學，我們知道等邊三角形的3個内角也是相等的。歐幾裡德以如下方式構建等邊三角形。

因為這兩個圓共享一個半徑，而且所有三個點都位于兩個圓上，所以任何兩個圓之間的距離必須是相同的。稍後我們将看到這意味着什麼。

以這裡給出的三角形ABC為例。我們可以沿着它的一條平分線進行反射，或者我們可以将它旋轉三分之一圈。這裡用r代表旋轉，用f代表反射。

我們可以看到，通過這些操作正好可以得到6種結果，舉例來說：

可以想到，三角形的對稱性對應于字母的重新排列，并且旋轉和反射足以得到所有這些結果。如果你想嘗試一下，從一張紙上剪下一個三角形，并嘗試2或3個反射或旋轉的每個組合。把它們做成一個表格，看看每個角的位置。

然後我們最終發現三角形{a,b,c}有一系列的旋轉和反射使它保持不變；這些都是由一次旋轉和一次反射“構建”而成的。

• 這裡，e是 "自身"，即 "什麼都不做"。

我們把這些稱為對稱性，這仍然不是一個很好的解釋。我們更進一步，把具有這些對稱性的三角形寫成（T，G），其中：

T={a,b,c}，G=（r，f，r^2，rf，r^2f）。你可以認為這是在描述一個等邊三角形的屬性：它是一個由三點組成的集合，其中某些旋轉和反射（G中的那些）讓它保持不變。我們現在稱這些為對稱性，但在不久之後會再一次完善定義。

定義3：群，一個群是一個集合X，與一種乘法（當a與b相乘時寫成ab）相結合，使得：

• X是封閉的：X的任何元素通過乘法運算後仍屬于X。
• X有一個單位元素：有一些元素e，使得對于X中的任何x，ex = xe = x。
• 乘法是結合的：對于X中的所有a,b,c，a(bc)=(ab)c=abc；并且
• 乘法有一個逆運算：對于X中的所有x，存在一個元素y，使得xy=yx=e，我們可以表示這個y為x^(-1)。

一個群是任何元素的集合。現在，如果你回顧一下三角形例子，這個三角形是由（T,G）給出的。正如我們上面描述的那樣，G是一個群。如果把不同的旋轉和反射結合起來，就會得到一個旋轉或反射，而且正如我們的表格所顯示的，這些旋轉或反射中的每一個都有一個逆數（在表格的每一行，至少有一個e，所以每個元素至少有一個逆數）。最後，它是“結合的”，正如我們可以通過同樣的推理來檢查。

在三角形的例子中，我們必須注意，三角形本身不是群，頂點也不是；相反，{a,b,c}這個集合被旋轉和反射群所作用。這個群被稱為D3，即作用于3個物體的二面體群。

在繼續之前，深呼吸一下，不要想太多。我們所做的隻是說出了一些我們已經理解的東西，或者我們至少可以在直觀的層面上做一些嘗試。這個 "大跨步 "是我們将這些對稱與它們賴以生存的東西分離開來，這是非常有價值的，我們稍後會看到。

算術模數3

讓我們再舉兩個簡單的組的例子。第一個是一個有3個小時的時鐘的算術。

• 一個有3個小時的鐘。

在這個有3個小時的時鐘上，我們将定義一些基本的算術。以2 1為例。2之後的一個小時是0，所以2 1=0。

同樣地，2 2=1，2×2=1。其他一切都 "和平時一樣"。

這就是所謂的算術模數3。我們現在将專注于加法屬性；在這種加法下，我們将集合{0,1,2}稱為Z3，對它進行 運算。這是一個極其基本的群，作用于這個極其簡單的集合。對有興趣的讀者來說，一個很好的練習是檢驗（Z3， ）是否是一個群。

這也恰好等同于僅由三角形上的旋轉形成的群。

有理數

取任何分數p/q，其中p，q不為0。通過乘法運算，這就是一個群。在加法運算下，它們也是單獨的一個群，p允許為0（但q不允許！）。提示：在乘法中的e是1，在加法中的e是0。

單位圓的旋轉角度為k

正如你可能已經注意到的那樣，旋轉在平面上很容易産生群（後面會有更多介紹）。現在，注意到所有旋轉的集合，無論是作用于平面還是作用于以原點為中心的任何圓，都是群。

群的屬性

現在我們有了一些例子，我們注意到以下幾個術語和想法：

• 交換的：如果運算可交換，也就是對于X中的所有元素，xy = yx，那麼我們說這個群是交換群。
• 子群：如果群的一個子集仍然是一個具有相同運算的群，我們說它是一個子群。一個很好的例子是整數的加法，以及任何素數的倍數集合；比如{...-10,-5,0,5,10,15...}在這裡寫成5Z（與Z5不同！）。
• 群階：我們說一個群中元素的數量就是它的階。
• → 拉格朗日定理：如果H是一個有限階的群，而G是H的一個子群，那麼G的階就能整除H的階。
• 元素階：元素g的階是使g^k = e的最小數k
• → 柯西定理：如果H是一個有限階n的群，p是一個能整除n的素數，那麼H至少有一個p階的元素。

這給了我們一些方式，把群看作是數論和幾何學的基礎結構。這就引出了最後的定義。

定義4：幾何學，幾何學是一對（S,G），其中S是一個集合，G是一個變換群。

這就把我們引向下一個定義：

定義5：變換，變換是一個從集合A到自身的函數T，通常寫成T：A→A，這樣，A中的一切都歸于A中唯一的東西（一對一），并且T的輸出涵蓋A的全部（滿射）。一個一對一和滿射的函數被稱為雙射，而從一個集合到它本身的雙射（保留了群結構）是一個自同構。

因此，一個幾何體是一個集合，這個集合具有一個群，這個群的函數滿射到自身；或者是一個集合，這個集合的群是自同構的。這些也被稱為對稱性。

回到三角形，有一些語言，我們可以更好地理解。

這裡，整個幾何學是（S,G）。三角形是S={a,b,c}的集合，自同構群由r和f的組合組成。我們把這個群寫成G或<r,f>。這些元素分别有3階和2階，因為r^3是a→b→c→a（對于任何一個元素都是如此），而f^2是a→c→a（同樣，每個元素都被保留了，盡管b沒有改變）。r和f的組合是三角形的對稱性。

最終定義：

定義6：歐幾裡得幾何，歐氏幾何是複數的集合C，與T(z)=r(z) b形式的變換群H相結合，其中z是一個複數，b是一個複數常數。

也就是說，它是平面的所有旋轉和平移的集合。看看你是否能自己明白為什麼這有意義。

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