2、九章算術 卷第一 方田——裡田術

原文

[3]今有田廣一裡，從一裡。問為田幾何？

答曰：三頃七十五畝。

[4]今有田廣二裡，從三裡。問為田幾何？

答曰：二十二頃五十畝。

裡田術曰：廣從裡數相乘得積裡。以三百七十五乘之，即畝數。

今譯：

[1]已知一塊正方形的田地邊長為1裡。問這塊田地的面積是多少？

解：1裡=300步，1畝=240平方步，100畝=1頃

正方形田地面積=1裡×1裡

=300步×300步

=90000（平方步）

=90000÷240

=375畝

=3頃75畝

由此歸納出：1平方裡=375畝

[2] 已知一塊長方形的田地寬2裡，長3裡。問這塊田地的面積是多少？

解：長方形田地面積=2裡×3裡

=6（平方裡）

=6×375畝

=2250畝

=22頃五十畝

計算長寬以“裡”為單位的長方形面積的方法：長方形的長（裡數）乘以寬（裡數），所得的積為長方形田地的面積（積裡，即為：平方裡）。用所得的積乘以375畝，得數即為田地的畝數。

即：積裡=廣（裡）×從（裡）

畝數=積裡×375畝

評議：

上一講我們學習了《九章算術》的方田術，給出了長方形（含正方形）的面積公式，計算了以“步”為長度單位的面積，定義了1畝标準，即1畝=240平方步，還規定了100畝=1頃。

這一講我們繼續學習《九章算術》的裡田術，還是求解長方形田地的面積，隻是将之前的小單位“步”改成大單位“裡”。

對于“裡田術”，筆者談談我個人的感想：

1、古人已經認識到“正方形是特殊的長方形”，隻是正方形的邊長仍然稱為廣（寬）和從（長）。

1平方裡方田示意圖

前兩道題都是求長方形的面積，而第三題是求正方形面積，通過此題的計算過程（面積=長×寬），我們可以推出：古人已經認識正方形就是長方形，隻是特殊的一類長方形（廣與從相等）。

通過此題定義了1平方裡的标準，等于375畝。

2、感歎古人能娴熟地運用“九九表”。

“九九表”由誰首創，何時創造，已無從考證。但有一點是可以明确的，在春秋戰國時代，“九九表”已經廣泛流行了。

她又為什麼叫“九九表”，而不是“一一表”呢？由于我國古代乘法口訣是從“九九八十一”倒叙的，而非現代從“一一得一” 順叙的。為了方便記憶，古人采用起始兩字“九九”來表示此種方法。

古時的計算是用算籌（參見我的文章“算、筭、祘”）進行的，在乘除運算中，一邊念叨“九九”乘法口訣，一邊擺弄算籌，得出結果。此過程對于當時的人們頗為神秘。至于如何運用算籌進行加減乘除開方等運算，我會另起文章叙述。

3、感歎古人對（平方）步、（平方）裡、畝、頃單位之間的換算相當熟練。

通過翻譯解題的過程，我們發現，如果不對原文進行翻譯，邊長為1裡的正方形田地面積，今人是無法理解其答案的（三頃七十五畝）。正是這個過程，說明古人對（平方）步、（平方）裡、畝、頃單位之間的換算是非常熟練的。

平方步、平方裡、畝、頃單位之間的換算規律

4、疑惑

筆者還有個疑惑，古時的（平方）步、（平方）裡、畝、頃與今天的平方米是如何換算的呢？還需要查閱資料。

參考文獻

1、肖作政編譯.《九章算術今解》.大連：遼甯人民出版社，1990

2、郭書春譯注.《九章算術譯注》.上海：上海古籍出版社，2009

3、鄒湧譯解.《九章算術》.重慶：重慶出版社，2015

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