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☞上期題目

相對于短短的标準答案，小編還是十分欣賞小夥伴@綠豆寶寶的回答：

看了下樓上幾個人的證明方法,也就那個通過證明a/b不是最簡分數得到矛盾的方法是正确的,其他的方法全是扯淡(錯誤的原因都是在默認根号2是無理數或者 無限不循環小數的情況下去證明根号2是無理數,這是種邏輯循環論證的錯誤)，但是通過a/b不是最簡分數得到矛盾的證明方法雖然正确卻也是有局限性的,隻 能用來證明根号2不等于分數a/b,并不能證明比如99開平方和99開3次方這些數同樣的不等于分數a/b的形式， 我試着把這個問題做了一點推廣,讓它适用于更一般的情況。先定義:如果存在某個整數n以及大于等于2的正整數s使得m=n^s,就稱m是完全s次方數,這 裡符号n^s表示n的s次方,那麼就有如下【結論1】： 對于任意一個不是完全s次方數的整數m以及任意一個分數a/b,必定都有m^(1/s)=a/b不成立,換句話說就是m^(1/s)必定不是有理數(當然 這裡取的整數m和正整數s是使得m^(1/s)有定義的)。 可以看到隻要這個結論成立,那麼取m=2,s=2這個特殊情況,立刻就能得到2^(1/2)=a/b不成立的結論,也即根号2不是有理數的結論,當然也能 馬上得到99的平方根和99的三次方根都不能表示為分數的形式,也即99的平方根和99的三次方根都不是有理數的結論。

結論1的證明的第1部分：假若成立則mb^s=a^s,記m的質數分解q1^r1·q2^r2....·qi^ri，這裡q1,q2,....qi是兩兩互素的質數,因為m不是完全s次方數,所以r1,r2,...ri中至少有1個不是s的整數倍,記其中一個為r i0,記整數b的質數分解為p1^s1·p2^s2...pj^sj,這裡p1,p2,....pj是兩兩互素的質數,記整數a的質數分解為l1^t1....lk^tk,這裡l1,....lk是兩兩互素的質數,則有 q1^r1·q2^r2....·qi^ri (p1^s1·p2^s2...pj^sj)^s=(l1^t1....lk^tk)^s，即q1^r1 ·q2^r2·....qi^ri·p1^(s1·s)·p2^(s2·s)......pj^(sj·s)=l1^(t1·s)......lk^(tk·s)。

結論1的證明的第2部分：上述已得到等式q1^r1 ·q2^r2·....qi^ri·p1^(s1·s)·p2^(s2·s)......pj^(sj·s)=l1^(t1·s)......lk^(tk·s)，下面的步驟是來證明等式左右兩端的質數因子q i0的次數是不相等的從而來導出矛盾：由于r i0不是s的整數倍,而q1,q2...qi兩兩互素所以是兩兩不相等的質數,所以q1^r1 ·q2^r2·....qi^ri中的質數因子q i0的次數為r i0,而p1,p2,....pj是兩兩互素因此兩兩不相等,所以p1,p2...pj中或者沒有某個質數等于q i0或者隻有1個質數pj0等于qi0,所以等式左端的質數分解中的質數因子q i0的次數或者等于r i0,或者等于r i0 s j0 ·s ，無論哪種情況等式左端的質數分解中的質數因子q i0的次數都不是s的整數倍, 而對于等式右端根據質數分解唯一定理知道l1,l2,...lk中必定有若幹個等于q i0，而l1,l2,....lk是兩兩互素從而兩兩不相等的質數,所以等式右端的l1,l2,...lk中有且僅有一個質數因子等于q i0，記為l k0 ,所以等式右端的質數因子q i0的次數就是t k0 ·s ,所以等式右端的質數因子q i0的次數是s的整數倍,但等式左端的質數因子q i0的次數不是s的整數倍,這與質數唯一分解定理矛盾,證畢。

當然這裡特别的可以取s=2就得到下面的【特殊結論2】： 對于任意一個不是完全平方數的正整數m以及任意一個分數a/b，m^(1/2)=a/b必定不成立,也即m^(1/2)不是有理數。 對于這裡的例子就是上述結論的特殊的情況而已,取m=2,因為2不是完全平方數所以對于任意一個分數a/b都有2^(1/2)=a/b不成立,也即根号2 不是有理數。 當然上面證明了對于不是完全s次方數的整數m，m^(1/s)=a/b必定不成立這就等價于證明了對于不是完全s次方的整數m,有m= [a·b^(-1)]^s這個等式不成立, 現在我進一步把這個結論推廣到抽象代數中的唯一分解整環中還可以得到如下【結論3】： 對于唯一分解整環A中的任意一個元素m,如果m不能表示為A中的某個元素的s次方,那麼對于A中的任意一個元素a和任意一個存在逆元的元素b,都有等式 m=[a·b^(-1)]^s不成立。這裡的乘法和除法都是唯一分解整環A中的乘法和除法,是一種封閉的代數運算，與我們平時的實數計算中的乘法和除法是兩碼事

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如果你面向東邊，站在冰面上，鞋底與冰面完全沒有摩擦，你能否做出一系列動作，使得自己最後能面向西邊站立？

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