大家好！本文和大家分享一道奧賽幾何題，題目見下圖。這道題的條件非常少，但是俗話說數學題往往條件越少難度越大，這道題的難度也是比較大的，沒有掌握方法很難求解出答案。下面介紹本題的兩種解法，供大家參考。
托勒密定理是托勒密将依巴谷的書中的相關知識進行完善後得到，我們先來看一下托勒密定理的内容。
托勒密定理：在圓的凸内接四邊形中，這個四邊形兩對對邊的乘積之和剛好等于兩條對角線的乘積。
比如在下圖中，四邊形ABCD是圓O的凸内接四邊形，則AD·BC AB·CD=AC·BD。
什麼是凸四邊形呢？簡單來說就是這個四邊形在任意一條邊所在直線的一邊。比如下圖的四邊形ABCD都是在四邊所在直線的一邊，所以是凸四邊形。
知道了托勒密定理有什麼用呢？
我們先來觀察一下原題中兩個直角三角形構成的四邊形，很明顯這個四邊形的對角是互補的。根據圓沒接四邊形的判定定理可知，對角互補的四邊形是圓的内接四邊形。從題中的圖還可以看出，這個四邊形是凸四邊形，所以可以直接用托勒密定理求解。
如上圖，為了方便表示，分解标上字母，連接AC，并設扇形半徑為r，CD=x。
在直角三角形ABD中，由勾股定理可得BE=5。
根據托勒密定理可以得到：
AD·BC AB·CD=AC·BD，即：
3r 4x=5r，解得x=r/2①。
又在直角三角形BCD中，由勾股定理可得：BD^2=BC^2 CD^2，即：
25=r^2 x^2②。聯立方程①②，解得r^2=20。所以扇形面積為圓面積的四分之一，即20π/4=5π。
用托勒密定理解這道題非常快，但是很多人不知道托勒密定理，那麼不用托勒密定理要怎麼解呢？
如下圖，延長AD交BC的延長線與點E。因為BC為扇形的半徑，點A在扇形的弧上，且角BAD為直角，所以BE為扇形所在圓的直徑。這樣就構造出了一個大的直角三角形ABE。
設扇形的半徑為r，則BE=2r，AE=3 r。在直角三角形ABE中，由勾股定理得：
BE^2=AB^2 AE^2，代入數據得：
(2r)^2=4^2 (3 r)^2，解得：r=2√5。
所以扇形面積為πr^2÷4=π×(2√5)^2÷4=5π。
這道奧賽幾何題的難度還是比較大的，但是解題的方法并不唯一，即使沒有學過托勒密定理還是可以通過補形的方法用勾股定理求解。隻是補形求解的難點就在于如何快速準确地作出輔助線，作出輔助線後，求解難度就減小了很多。
這道題就和大家分享到這裡了。
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