導數同構第2題。
已知函數f(x)=eˣ-alnx,若任意x∈(0, ∞),不等式f(x)>alna恒成立。求正實數a的取值範圍。
關鍵點:構造同構式。
解析:由f(x)>alna得,eˣ-alnx>alna,∴eˣ/a-lna>lnx即eˣ⁻ˡⁿᵃ-lna>lnx。
兩邊同時加個x,∴eˣ⁻ˡⁿᵃ x-lna>x lnx ①
即eˣ⁻ˡⁿᵃ x-lna>eˡⁿˣ lnx
構造函數g(t)=eᵗ t,由上可知,
g(x-lna)>g(lnx)
易知g(t)圖像單調遞增。
∴x-lna>lnx
∴lna<x-lnx
令h(x)=x-lnx。易證h(x)在x=1處有最小值。
∴lna<1
∴a∈(0,e)
重要步驟講解:
1.eˣ/a=eˣ⁻ˡⁿᵃ,這是指數的運算法則。
2.①式構造同構式是,需要兩邊同時加個x。這也提醒各位同學,題型多變,式子變形完後,可能看不出來,需要同加同減同乘同除某式子。這就需要各位同學平時勤加練習。
3.lna<x-lnx。小于某函數恒成立,就是小于這個函數的最小值。
4.解析中的兩個函數圖像如下:
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