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同構導數經典例題

生活 更新时间:2024-08-21 15:13:36

​導數同構第2題。

已知函數f(x)=eˣ-alnx,若任意x∈(0, ∞),不等式f(x)>alna恒成立。求正實數a的取值範圍。

關鍵點:構造同構式。

解析:由f(x)>alna得,eˣ-alnx>alna,∴eˣ/a-lna>lnx即eˣ⁻ˡⁿᵃ-lna>lnx。

兩邊同時加個x,∴eˣ⁻ˡⁿᵃ x-lna>x lnx ①

即eˣ⁻ˡⁿᵃ x-lna>eˡⁿˣ lnx

構造函數g(t)=eᵗ t,由上可知,

g(x-lna)>g(lnx)

易知g(t)圖像單調遞增。

∴x-lna>lnx

∴lna<x-lnx

令h(x)=x-lnx。易證h(x)在x=1處有最小值。

∴lna<1

∴a∈(0,e)

重要步驟講解:

1.eˣ/a=eˣ⁻ˡⁿᵃ,這是指數的運算法則。

2.①式構造同構式是,需要兩邊同時加個x。這也提醒各位同學,題型多變,式子變形完後,可能看不出來,需要同加同減同乘同除某式子。這就需要各位同學平時勤加練習。

3.lna<x-lnx。小于某函數恒成立,就是小于這個函數的最小值。

4.解析中的兩個函數圖像如下:

同構導數經典例題(導數專題之同構)1

同構導數經典例題(導數專題之同構)2

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