前言：微積分是研究變化的最好工具；研究變化，就要尋找引起變化的原因；也就是需要尋找一種變化引起另一種變化的工具-函數，與常數相對應。

1、什麼叫做函數？

函數，函，為含，包含之意，還有匣、盒之意；數，這裡指變化的數，函數就是包含變化數的數學式。是一種變化引起另外一種變化的數學工具，怎麼引起變化呢？那就需要一種規則。所以函數就包含這三個要素：一種變化、另外一種變化、中間規則，也就是自變量、因變量、對應法則。

傳統的數學定義：在一個變化過程中，假設有兩個變量x、y，如果對于任意一個x都有唯一确定的一個y和它對應。也就是說自變量x數量沒有做限制，可以是一個或多個，但是因變量y數量就做了限制，隻能是唯一，并且y的值是确定的。

如果利用圖形表示就是自變量x取值不同，但是應變量y可以是同一個确定的值，符合函數概念；但是一個自變量x，對應兩個應變量y,不符合函數定義，故不是函數。

我們可以把函數理解為機器，自變量就是原料，因變量就是成品，原料通過特定的機器做特定的成品。

比如原料是白面粉，通過饅頭機，隻能做出白饅頭；原料是黑面粉，通過饅頭機，隻能做出黑饅頭。這裡說明隻要對應法則一定，因變量是随着自變量的變化而變化。

又比如原料是棗泥和面粉兩種原料，通過饅頭機，做出棗泥饅頭一種産品，這說明自變量可以是兩種或者多種，但因變量隻能是一種确定的結果。為什麼結果是唯一确定的呢？因為數學就是一門邏輯嚴密的學科，要求結果是确定的。

2、什麼是複合函數？

複合函數就是嵌套函數，裡層函數的結果為外層函數的輸入量，就是變化引起一種變化，這種變化結果在引起另外一種變化。例如面粉通過饅頭機做出饅頭，把饅頭當做原料通過饅頭片機做出饅頭片。就好像俄羅斯套娃。

3、什麼是反函數？

函數就是原料經過函數機器加工成為産品，反函數就是産品可以經過反函數機器還原成原料。

由于公式無法顯示就整體截圖顯示

如果要是原函數具有反函數，根據函數定義，自變量對應唯一确定的因變量，反函數也是函數符合函數定義，就是因變量對應唯一确定的自變量。要想原函數具有反函數，那就要确定唯一的自變量對應确定唯一的應變量，所以要求原函數單調，隻有單調才可以一一對應。

4、為什麼研究函數的單調性呢？

單調性，顧名思義，就是朝一個方向發展，或者随着自變量的變大而變大，或者自變量的變大而減小。研究函數的單調性就是在自變量變化的時候，預判結果是朝那個方向發展。如果函數整體不具有單調性，那麼我們也會把它分段，在每小段研究單調性，預判這段的結果的發展方向。

5、為什麼研究函數的奇偶性呢？

奇偶性也就是函數的對稱性，研究對稱性，可以減少研究的範圍，隻研究函數的一半就可以了。

關于原點對稱的函數，叫做奇函數。也就是自變量增加負号，結果也增加負号，自變量改變方向，因變量也改變方向。例如下圖奇函數就是研究一半，繞着原點旋轉180°就是另外一半，兩部分本質上是相同的。

關于y軸對稱的函數，叫做偶函數。也就是自變量增加負号，結果不改變，自變量改變方向，因為變量還是原來方向。例如下圖偶函數就是研究一半，繞着y軸做鏡像，就是另外一半。

6、為什麼研究函數的連續性呢？

直觀上來說，連續的函數就是當輸入值的變化足夠小的時候，輸出的變化也會随之足夠小的函數。如果輸入值的某種微小的變化會産生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義，則這個函數被稱為是不連續的函數；連續函數我們可以做無限切割，這是微積分的基礎。不連續函數我們可以做分段處理，劃分成部分連續函數，再做無限切割。

7、為什麼研究函數的凹凸性呢？

函數凹凸性就是尋找函數的拐彎處，找到函數的拐彎處隻知道函數在那個點方向開始變化，未來發展趨勢有了改變；找到高點和低點。現實生活中我們往往是尋找最大點或者低點，比如汽車在什麼路段開到那個速度省油，就是需要某段的最低點。

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