一、二次函數

1．二次函數的概念

2．表示形式

3．二次函數的圖象與性質

4．常用結論

二、幂函數

1．幂函數的概念

2．幾個常見幂函數的圖象與性質

3．常用結論

(1)幂函數在(0, ∞)上都有定義.

(2)幂函數的圖象均過定點（1,1） .

(3)當α>0 時，幂函數的圖象均過定點(0,0),(1,1) ，且在(0, ∞)上單調遞增.

(4)當α<0 時，幂函數的圖象均過定點(1,1),且在(0, ∞)上單調遞減.

(5)幂函數在第四象限無圖象.

考向一 求二次函數或幂函數的解析式

1．求二次函數解析式的方法

求二次函數的解析式，一般用待定系數法，其關鍵是根據已知條件恰當選擇二次函數解析式的形式．一般選擇規律如下：

2．求幂函數解析式的方法

幂函數的解析式是一個幂的形式，且需滿足：

(1)指數為常數；

(2)底數為自變量；

(3)系數為1.

考向二 幂函數的圖象及性質的應用

①α的正負：當α>0時，圖象過原點，在第一象限的圖象上升；當α<0時，圖象不過原點，在第一象限的圖象下降，反之也成立．

②幂函數的指數與圖象特征的關系

2．利用幂函數的單調性比較幂值大小的技巧：

結合幂值的特點利用指數幂的運算性質化成同指數幂，選擇适當的幂函數，借助其單調性進行比較.

【名師點睛】

同底數的兩個數比較大小，考慮用指數函數的單調性；同指數的兩個數比較大小，考慮用幂函數的單調性，有時需要取中間量.

考向三 二次函數的圖象及性質的應用

高考對二次函數圖象與性質進行單獨考查的頻率較低，常與一元二次方程、一元二次不等式等知識交彙命題，考查二次函數圖象與性質的應用，以選擇題、填空題的形式呈現，有時也出現在解答題中，解題時要準确運用二次函數的圖象與性質，掌握數形結合的思想方法.常見類型及解題策略：

1．圖象識别問題

辨析二次函數的圖象應從開口方向、對稱軸、頂點坐标以及圖象與坐标軸的交點等方面着手讨論或逐項排除．

2．二次函數最值問題的類型及處理思路

(1)類型：a.對稱軸、區間都是給定的；b.對稱軸動、區間固定；c.對稱軸定、區間變動．

(2)解決這類問題的思路：抓住“三點一軸”數形結合，三點是指區間的兩個端點和中點，一軸指的是對稱軸，結合配方法，根據函數的單調性及分類讨論的思想即可完成．

3．解決一元二次方程根的分布問題的方法

常借助于二次函數的圖象數形結合來解，一般從：a.開口方向；b.對稱軸位置；c.判别式；d.端點函數值符号;e.與y軸交點的正負這五個方面分析．

4．求解與二次函數有關的不等式恒成立問題

往往先對已知條件進行化簡，轉化為下面兩種情況：

【名師點睛】

求函數最值的常見方法有：

①配方法：若函數為一元二次函數，常采用配方法求函數值域，其關鍵在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定義域；

②換元法：常用代數或三角代換法，用換元法求值域時需認真分析換元參數的範圍變化；

③不等式法：借助于基本不等式 求函數的值域，用不等式法求值域時，要注意基本不等式的使用條件“一正、二定、三相等”；

④單調性法：首先确定函數的定義域，然後準确地找出其單調區間，最後再根據其單調性求出函數的最值；

⑤圖象法：畫出函數圖象，根據圖象的最高和最低點求最值.

【技巧點撥】

比較指數的大小常常根據三個數的結構聯系相關的指數函數與對數函數、幂函數的單調性來判斷，如果兩個數指數相同，底數不同，則考慮幂函數的單調性；如果指數不同，底數相同，則考慮指數函數的單調性；如果涉及對數，則聯系對數的單調性來解決．

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