二次根式是初中數學的一個大難點，在數式相關的題型中，含二次根式的題是同學們感到比較頭疼的，特别是其綜合解答題的正确率也比較低；二次根式涵蓋知識點多，解答的技巧性強；不但在代數中占據很重要的位置，而且有時在幾何計算中也常能發揮很關鍵的作用，二次根式很能考查同學們在初中階段的數學核心素養的；下面分ABCD四個部分，通過鮮活實例，加強對二次根式的學習、鞏固與提升，讓我們一起來探究.

A、基礎知識梳理

1、有關概念：

⑴、二次根式：形如√a（a≥0）的式子叫做二次根式；

⑵、最簡二次根式：滿足"被開方數是整數或整式且被開方數中不含能開得盡方的因數或因式"的二次根式，叫做最簡二次根式；

⑶、同類二次根式：被開方數相同，根指數也相同（都為2）的二次根式叫做同類二次根式。

2、重要公式（性質）：

3、規律總結

（3）、二次根式加減運算的一般步驟是：①将各二次根式化為最簡二次根式；②找出同類二次根式并将其合并。

（4）、在進行二次根式的混合運算時，應注意：⑴、原先學習的運算律、運算法則及乘法公式仍然适用；⑵、計算時應合理确定運算順序，并且每一步都要有依據。

B、基本運算突破

二次根式的運算可以說是前面學過的二次根式乘法、除法及加減法運算法則的綜合運用，也是本章内容的落腳點，是前面幾節内容的總結，在進行二次根式的運算時，請同學們還要注意以下幾點：

1、注意運算順序問題

二次根式的運算順序與實數中的運算順序一樣，先乘方，後乘除，最後加減，有括号的先算括号裡面的．

2、注意運算法則問題

在運算過程中，每個根式可以看作是一個"單項式"，多個不同類的二次根式可以看作"多項式"，因此實數運算中的運算律（分配律、結合律、交換律），所有的乘法公式（平方差公式、完全平方公式等）在二次根式的運算中仍然适用．

3、注意熟練進行二次根式計算和化簡

在理解二次根式基本概念基礎上，掌握好二次根式的重要性質多做一些練習，就能達到熟練計算和化簡二次根式的目的，除此之外還要掌握一些方法技巧．

C、常用方法技巧

在二次根式運算中，有很多學生感到厭煩。步驟複雜，用了很長時間，結果又不對，原因之一他們沒有找到運算中的技巧。下面就其運算方法與技巧舉例說明如下。

一、巧移因式，避繁就簡

二、巧提公因數，顯山露水

三、實施配方，簡潔明快

四、整體代入，多快好省

五、造零等式，另辟蹊徑

【點評】本題考查二次根式的化簡求值，解題的關鍵是學會用整體代入的思想解決問題，屬于中考常考題型．

D、最新考題賞析

近年中考試題中新題型不斷湧現，這類問題給出一些新情境，設置一些新問題，要求學生通過閱讀理解發揮應變能力和創新能力來解答試題，可以全面考查學生綜合素質，這些試題已成為中考試題中的一道靓麗的風景．現舉幾例與大家共賞。

一、程序運算型

點評：以"數值轉換機"的形式考查實數的運算，形式新穎．這類題目不僅考查學生基礎知識的掌握情況，而且可以考察學生的綜合能力．

二、估算型

點評：新課标要求：能用有理數估算一個無理數的大緻範圍，估算的方法很多，可以采用平方法，作差法等等．

三、探索規律

所謂探索規律就是要通過由特殊推廣到一般，并經過大膽地猜想、歸納和驗證，從而獲得正确的結果．

【點評】本題考查了二次根式的混合運算：先把二次根式化為最簡二次根式，然後進行二次根式的乘除運算，再合并即可．在二次根式的混合運算中，如能結合題目特點，靈活運用二次根式的性質，選擇恰當的解題途徑，往往能事半功倍．以觀察探索歸納猜想為形式的新穎題脫穎而出，此類問題的設置有利于考查學生的創新意識和獨立解決問題的能力，有助于引導學生在平時的學習過程中進行自覺的探索

四、新定義運算

定義的新運算，實質是給出了一種變換規則，以此考查學生的思維應變能力和演算能力．解這類題的關鍵是深刻理解所給的定義或規則，将它們轉化成我們熟悉的運算

【分析】（1）根據新定義運算法則即可求出答案．

（2）根據新定義運算法則即可求出答案．

（3）根據定義化簡原式後即可求出a²b² ab的值．

點評：本題考查學生的閱讀理解能力，解題的關鍵是正确理解新定義運算法則，本題屬于基礎題型．

題中在一定前提條件下，定義了不同的新運算，計算時，應看清條件，分别計算．

五、閱讀理解：

例5、閱讀材料：

值可以看成線段PA與PB長度之和，它的最小值就是PA PB的最小值．

設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA＝PA′，因此，求PA PB的最小值，隻需求PA′ PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，所以PA′ PB的最小值為線段A′B的長度．為此，構造直角三角形A′CB，因為A′C＝3，CB＝3，所以A′B＝3√2，即原式的最小值為3√2．

根據以上閱讀材料，解答下列問題：

∴所求代數式的值可以看成平面直角坐标系中點P（x，0）與點A（0，6）、點B（6，2）的距離之和，

如圖所示：設點A關于x軸的對稱點為A′，則PA＝PA′，

∴PA PB的最小值，隻需求PA′ PB的最小值，而點A′、B間的直線段距離最短，

∴PA′ PB的最小值為線段A′B的長度，

∵A（0，6），B（6，2），∴A′（0，﹣6），A′C＝6，BC＝8，

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