本文主題：量子力學之路（3）——球諧函數。前兩篇在下面：

量子力學之路——堅實的數理基礎至關重要，沒有捷徑可走

量子力學之路（2）——牛頓與開普勒，微分方程中看天體運動

在球坐标系中展開拉普拉斯函數時，球諧函數就會出現，我們來推導一下。

埃爾米特微分方程

用級數法解下列方程

解是一個埃爾米特多項式的線性組合。

亥姆霍茲方程

在球坐标下解亥姆霍茲方程

徑向部分是貝塞爾方程的一種形式，要用弗羅貝尼烏斯法（Frobenius method）來解。

球坐标下的拉普拉斯方程

球坐标下的拉普拉斯方程為

這又是一篇數學密集型的文章。讓我們開始吧。

一邊是所有的r相關系數，另一邊是所有的θ和φ相關系數：

結論是兩邊都等于一個常數。

如果這個過程讓你感到費解，請閱讀我關于微分方程的系列文章。

第一次試解

我們要解徑向微分方程，這是歐拉-柯西方程的一個特殊情況。

首先，我們的猜測是指數形式，得到

對于所有的r，沒有常數λ滿足這個方程，所以解不可能是指數形式。

第二次試解

我們看看最簡單的多項式是否可行。

結果是

一元二次方程求解公式是

後面我們将知道，k的形式必須是l(l 1)，帶到λ化簡後得到徑向方程的解是

其中A和B是常數。

物理限制條件

當r = 0或r→∞時，解會發散。而我們想要的是有限的勢能，當靠近原點時，設B = 0當遠離原點時，設A = 0。

球面對稱

在球面對稱的情況下，除了l = 0之外，每一項都趨于0，因此解是

一個半徑為R_0的球殼，在恒定電勢V的地方，在球的内部是沒有電場的，也就是說電勢一定是常數。在球面外面，電勢像曲線（1/r）一樣減小。因此勢能是r的函數

分解角分量

把角分量分解成它們自己的方程

讓兩邊都等于一個常數

方位方程（φ）

我們可以解出方位方程

用标準特征方程法得到

c_1和c_2是依賴于特征值M的常數。

周期性

我們需要對M的值進行限制。在球坐标中，坐标(r， θ， φ)和(r， θ， φ 2 π)指向空間中的同一個點。對于空間中的每個點，隻能有一個“勢”值，所以對于所有的φ，必須有

我們稱這個約束為周期邊界條件。

隻有滿足下面的條件，c_1和c_2才對所有可能的值成立：

天頂方程(θ)（難的部分）

這個部分不太直觀，主要思想是

1. 去掉三角函數。
2. 先讨論最簡單的情況（m = 0）。
3. 猜測解是任意多項式。
4. 将解擴展到非零m。

簡化

将M = m^2代入天頂方程

展開以減少三角函數的項數

如果

就可以去掉三角函數。首先需要求出

和

計算如下：

然後把這個結果代入天頂方程得到

現在，通過兩個替換：

就可以消去所有的三角函數項了

這個方程被稱為連帶勒讓德方程（ Associated Legendre Equation ）。

設m=0

設m = 0，得到勒讓德方程：

我們先求解勒讓德方程，然後用它的解求解連帶勒讓德方程。

級數解

嘗試解的形式，x的指數或幂都不行、所以我們要用級數解來解這個方程。猜測：解可以用任意次多項式表示

對于有限次多項式，某一點後的所有系數都為零。例如，表示2x^3-10 x^2 1，有

例子

在講勒讓德方程之前我們先來解一個更簡單的微分方程。

首先，我們把級數代入

我們寫出求和的前幾項，得到

對于所有x，上面這個級數都是零，因此這個級數的所有系數都必須是零。現在，回到求和符号的形式

繼續，所有的系數都必須是零這個解對所有的x都成立，也就是說

這個系數序列被稱為遞歸關系。我們對a_1和a_0沒有限制，但是後面的系數都是由a_1和a_0決定的。一般來說，二階線性常微分方程的解包含兩個常數。在這個例子中，這些常數是a_1和a_0。

勒讓德方程的級數解

回到勒讓德方程。我們用同樣的方法。首先，計算導數

然後，把它們代入方程

設系數為零，得到遞歸關系。

現在有了一個新的遞歸關系，a_1和a_0可以自由變化。

限制k

我們想把cos θ代入x，所以我們隻需要關心x∈[- 1,1]的情況。在x = 1和-1處，級數會發散（除非某一點之後的所有系數都為零）。為了解決這個問題，需要使某一點之後的所有系數為0。仔觀察查遞歸關系

如果a_n是零，那麼a_(n 2)也是零。通過歸納法，得到

這個結果告訴我們，如果我們可以使一個系數為0，我們可以使所有的偶數系數或者在這個系數之後所有的奇數系數為0

如果不從一個a_1=0或a_0=0開始，那麼一定有一個n的值，使得a_n≠0，但是a_(n 2)= 0。在這個n的值處，我們稱之為l，有

讓k等于l(l 1)，l是一個非負整數，可以确保某一點之後所有的偶數或奇數項都是零。現在，遞推關系是

假設l是一個非負偶數。n =l之後的偶數項是零，但奇數項仍然是非零的。我們可以通過讓a_1= 0來強制它們為0。同樣地，如果l是一個非負奇數，那麼我們可以通過讓a_0=0來強制偶數項為零。然後，可以利用勒讓德方程的線性性把物理解寫成我們得出的解的線性組合。

Pl(x)稱為勒讓德多項式。前幾個勒讓德多項式是

我們還是從猜測開始。将定義連帶勒讓德多項式作為解連帶勒讓德方程的函數

讓m≠0

我們還是從猜測開始。将定義連帶勒讓德多項式作為解連帶勒讓德方程的函數

當m = 0時，連帶勒讓德多項式變成勒讓德多項式

用球坐标表示為（m=0）

為了做出一個較好的猜測，我們必須考慮拉普拉斯方程的通解。

用球坐标表示為（m=0）

另一方面，如果m≠0，那麼

這個結果存在一個問題。坐标(R, 0, a)和(R, 0, b)都指向空間中的同一個點（即球體的頂部），但是上面的結果将得到不同的值。為了解決這個問題，m必須為0或者Θℓm(0) = Pℓm(1) = 0。同理，Θ(π) = Pℓm(-1) = 0，因為(r， π， a)和(r， π， b)都指向空間中的同一個點（即球面的底部）。當m≠0時，解的第一個限制條件是

這就得到了解的一個形式

把指數設為m很奇怪。m = 0意味着指數一定是0，所以我猜這裡有個參數。

回到方程

首先，我們計算連帶勒讓德方程中出現的項。

然後，把這些代入連帶勒讓德方程

這個方程等價于連帶勒讓德方程，所以它等于零。我們可以忽略前面的項，因為x =±1時它是0，這就有了

如果讓m = 0，得到勒讓德方程，對這個方程求導得到

這個方程表明，如果有一個函數可以解出m = k的方程，那麼它的導數可以解出m = k 1的方程。在數學上，也就是

因為m = 0給出了勒讓德方程，我們知道

最後，我們将結果代入我們對Pℓm(x)的猜測

這些函數被稱為連帶勒讓德多項式。因為勒讓德多項式的階數為l，也就是說我們隻能求導l次。這一事實意味着m≤l。

通解是

但是我們怎麼得到系數的呢？這裡我們使用的是複函數的内積

其中f*(x)是f(x)的複共轭。如果我們嘗試在球面調和函數上使用這個内積的定義，我們不會得到正交的本征函數。為了了解原因，讓我們将上述定義與任意維數下的兩個複向量的内積進行比較。

積分内積中的所有“東西”在向量内積中都有對應的東西，除了dx。因此，區間(a, b)上兩個函數的内積的一般形式是

函數ω(x)為權函數。

我們将在下一篇文章中讨論如何推導權函數，但現在，我想給出一些關于球諧函數的直觀感受。在二維曲面（嵌在3維空間）上動畫演示一個二維函數是很困難的。所以我決定選擇一個繞z軸旋轉對稱的勢，也就是說隻有m = 0的項是非零的。這樣做可以讓我動畫球體的橫截面，其中表面的高度代表勢，最高的峰值對應于負z方向。選擇的系數是

這就得到

我也用這個勢發射了一些測試粒子（即使我不認為你可以穿過球體，因為力可能在球體表面沒有定義），看看會怎樣

用一個電勢發射所有這些粒子不僅僅是看起來很酷，這是一個很好的方法來計算未知的電勢或電荷分布。

勢理論是研究調和函數的，也就是拉普拉斯方程的解。

概要

在本文中，我們讨論了許多内容，包括

1. 歐拉-柯西方程，
2. 特征函數的各種限制，
3. 微分方程的級數解，
4. 球諧函數，
5. 勢理論。

下一步計劃

接下來我們将讨論權函數與投影運算符以及括号表示法和厄米特算子。

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