前面有人讓我講解一下RSA算法，今天我就用我所學的知識講解一下，首先我們先了解一下RSA

RSA是一種非對稱加密算法，1977年由羅納德·李維斯特（Ron Rivest）、阿迪·薩莫爾（Adi Shamir）和倫納德·阿德曼（Leonard Adleman）一起提出的，因此以三人姓氏的首字母命名了該非對稱加密算法，RSA算法。

在了解非對稱性加密的時候我們需要了解什麼叫對稱性加密。我們就那徐克導演拍的電影《智取威虎山》，其中的一段對話

土匪：天王蓋地虎！ 楊子榮：寶塔鎮河妖！ 土匪：野雞悶頭鑽，哪能上天王山！ 楊子榮：地上有的是米，喂呀，有根底！ 土匪：拜見過阿媽啦？ 楊子榮：他房上沒瓦，非否非，否非否！

通過他們的對話我們知道 土匪在試探楊子榮的身份。當土匪說，天王蓋地虎，我就必須說 寶塔鎮河妖！也就是雙方都知道 這段話是什麼意思。翻譯成程序員的話就是 雙方都有加密的密鑰。因此對稱加密也可以說是秘密交易者的暗号。

不過對稱加密有一個很大的問題，密鑰容易洩露。土匪的暗号被楊子榮知道了這個就很容易取得了他們的信任。

RSA加密

我們需要先預習一下還給數學老師的知識

歐拉函數在數論中，存在正整數 n，小于n并且與n互質的正整數的數目稱為n的歐拉函數記着φ(n)。例如：φ(7) 7對應的比7小的與7互質的數有1、2、3、4、5、6共6個，因此φ(7)=6；φ(8) 8對應的比8小的與8互質的數有1，3，5，7共4個，因此φ(8)=4；φ(9) 9對應的比9小的與9互質的數有1，2，4，5，6，7，8共7個，，因此φ(9)=7。

通式（P是數N的質因數）

φ（10）=10×（1－1/2）×（1－1/5）=4；

φ（30）=30×（1－1/2）×（1－1/3）×（1－1/5）=8；

φ（49）=49×（1－1/7）=42。若m n互質：φ(n * m)=φ(n)* φ(m)，如果n為質數那麼φ(n)=n-1。分解質因數求值：φ(12)=φ(4 * 3)=φ( 2^2 * 3^1 )=( 2^2 - 2^1 ) * (3^1 - 3^0)=4。

歐拉定理如果兩個正整數m和n互質，那麼m的φ(n) 次方對n取餘衡等于1。m^φ(n)%n≡1。

費馬小定理存在一個質數p，而整數a不是p的倍數，則存在a^(p-1)%p≡1。費馬小定理是歐拉定理的特殊情況。因為φ(p)=p-1（任何數都與質數互質）。

模反元素如果兩個正整數e和x互質，那麼一定存在一個整數d，使得ed-1能夠被x整除，則稱d是e對x的模反元素。e * d % x≡1，那麼e * d ≡ k*x 1。

由以上定理得出以下幾個公式：1、m^φ(n)%n≡12、m^(k * φ(n))%n≡1 兩端同乘以m3、m^(k * φ(n) 1)%n≡m4、e * d≡k * x 15、m^e * d%n≡m 替換第3步k * φ(n) 1

而m^e*d%n≡m就是我們需要的一個非對稱加密的公式。m為明文，e和d分别對應的是公鑰私鑰。迪菲卡爾曼秘鑰交換對公式拆分：m^e%n=c 加密c^d%n=m 解密其中c為通過e加密後的密文，然後通過d可以解出明文m。因此：公鑰： e、n秘鑰：d、n明文：m密文：c

RSA加密過程1、取兩個質數p1、p2；2、确定n值，n=p1 * p2，n值一般會很大長度一般為1024個二進制位；3、确定φ(n)，φ(n)=(p1-1) * (p2-1)；4、确定e值，1<e<φ(n)，e為整數并且與φ(n)互質；5、确定d值，e*d%φ(n)=1；6、加密 c=m^e%n；7、解密m=c^d%n。

實際驗證：1、p1=3， p2=7；2、n=p1 * p2=3 * 7=21；3、φ(n)=(p1-1) * (p2-1)=2*6=12；4、1<e<12，e=5（e與12互質則取值{1,5,7,11}，φ(12)=4個互質數，滿足條件的有4個）；5、e * d % φ(n)=5 * d % 12=1，得d=17；6、設置明文m=3，則c = m^e % n = 3^5 % 21=12；7、解密密文m=c^d % n=12^17 % 21=3。

通過上面的講解我們知道在RSA 加密中用到的幾6個參數

p1 p2 n φ(n) e d

這六個數字之中，公鑰用到了兩個（n和e），其餘四個數字都是不公開的。其中最關鍵的是d，因為n和d組成了私鑰，一旦d洩漏，就等于私鑰洩漏。

那麼，有無可能在已知n和e的情況下，推導出d？

1) e*d%φ(n)=1 (隻有知道e和φ(n)，才能算出d。)

2) φ(n)=(p1-1) * (p2-1) （隻有知道p1和p2，才能算出φ(n)。）

3) n=p1*p2 (隻有将n因數分解，才能算出p和q。)

結論：如果n可以被因數分解，d就可以算出，也就意味着私鑰被破解。

可是，大整數的因數分解，是一件非常困難的事情。目前，除了暴力破解，還沒有發現别的有效方法。維基百科這樣寫道：

　　"對極大整數做因數分解的難度決定了RSA算法的可靠性。換言之，對一極大整數做因數分解愈困難，RSA算法愈可靠。

　　假如有人找到一種快速因數分解的算法，那麼RSA的可靠性就會極度下降。但找到這樣的算法的可能性是非常小的。今天隻有短的RSA密鑰才可能被暴力破解。到2008年為止，世界上還沒有任何可靠的攻擊RSA算法的方式。

　　隻要密鑰長度足夠長，用RSA加密的信息實際上是不能被解破的。"

或許你看到這裡還不相信，我寫個程序挨着試 不就可以破解出來嗎？例如 21 你或許會很快的分解成 3×7 但是這個數再大一點 比如 這個質數 2^57,885,161-1 它有超過1千7百萬個數位 如果讓傳統計算機來驗證他是不是質數 估計可以跑到天荒地老。

本文參考了 百度百科和維基百科

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