相似三角形的判定--鞏固練習

1. 如圖，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，AE＝2，BD＝4，求

的值及AC、EC的長度．

2. 如圖在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A＝90°，且

，求證：BD⊥CD．

3.如圖所示，已知

中，E為AB延長線上的一點，AB=3BE，DE與BC相交于F，請找出圖中各對相似三角形，并求出相應的相似比.　　　　　　　　　　　　　　　　　　

4.如圖，已知AB⊥BD，ED⊥BD，C是線段BD的中點，且AC⊥CE，求證△ABC∽△CDE.　

5.如圖所示在平行四邊形ABCD中，EF∥AB，DE：EA=2：3，EF=4，求CD的長. 　

6.如圖，在正方形ABCD中，E、F分别是邊AD、CD上的點，AE=ED，DF=

DC，連接EF并延長交BC的延長線于點G．

（1）求證：△ABE∽△DEF；

（2）若正方形的邊長為4，求BG的長．

7.如圖，正方形ABCD中，M為BC上一點，F是AM的中點，EF⊥AM，垂足為F，交AD的延長線于點E，交DC于點N．

（1）求證：△ABM∽△EFA；

（2）若AB=12，BM=5，求DE的長．

8.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折疊，使得點C落在斜邊AB上的點E處．

（1）求證：△BDE∽△BAC；

（2）已知AC=6，BC=8，求線段AD的長度．

答案解析：

1.【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，　　　 ∵

，

，∴

，∴AC＝

，∴EC＝AC－AE＝

．

2.【解析】∵AD∥BC，∴∠ADB＝∠DBC，又∵

，∴△ABD∽△DCB， ∴∠A＝∠BDC，

∵∠A＝90°，∴∠BDC＝90°，∴BD⊥CD ．

3.【思路點撥】充分利用平行尋找等角，以确定相似三角形的個數.

【答案與解析】∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，　　 ∴ AB∥CD，AD∥BC，　　　　 ∴ △BEF∽△CDF，△BEF∽△AED.　　　　 ∴ △BEF∽△CDF∽△AED.　　　　 ∴ 當△BEF∽△CDF時，相似比

；

當△BEF∽△AED時，相似比

；　　　 　當△CDF∽△AED時，相似比

.

【總結升華】此題考查了相似三角形的判定（有兩角對應相等的兩三角形相似）與性質（相似三角形的對應邊成比例）.解題的關鍵是要仔細識圖，靈活應用數形結合思想.

4.【解析】∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B=∠D=90°，又∵AC⊥CE，∴∠BCA ∠DCE=90°，

∴∠BCA=∠E,∴△ABC∽△CDE.

1. 【解析】∵ EF∥AB，∴ ，　∵ ，∴ ，，　　　　　∴ CD=10。

6.【思路點撥】（1）利用正方形的性質，可得∠A=∠D，根據已知可得

，根據有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；

（2）根據平行線分線段成比例定理，可得CG的長，即可求得BG的長．

【答案與解析】（1）證明：∵ABCD為正方形，

∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，

∵AE=ED，

∴

，

∵DF=

DC，

∴

，

∴

，

∴△ABE∽△DEF；

（2）解：∵ABCD為正方形，

∴ED∥BG，

∴

，

又∵DF=

DC，正方形的邊長為4，

∴ED=2，CG=6，

∴BG=BC CG=10．

【總結升華】此題考查了相似三角形的判定（有兩邊對應成比例且夾角相等三角形相似）、正方形的性質、平行線分線段成比例定理等知識的綜合應用．解題的關鍵是數形結合思想的應用．

7.【解析】證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB=AD，∠B=90°，AD∥BC，

∴∠AMB=∠EAF，

又∵EF⊥AM，

∴∠AFE=90°，

∴∠B=∠AFE，

∴△ABM∽△EFA；

（2）解：∵∠B=90°，AB=12，BM=5，

∴AM=

=13，AD=12，

∵F是AM的中點，

∴AF=

AM=6.5，

∵△ABM∽△EFA，

∴

，

即

，

∴AE=16.9，

∴DE=AE﹣AD=4.9．

8.【答案與解析】證明：（1）∵∠C=90°，△ACD沿AD折疊，

∴∠C=∠AED=90°，

∴∠DEB=∠C=90°，

∵∠B=∠B，

∴△BDE∽△BAC；

（2）由勾股定理得，AB=10．

由折疊的性質知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．

∴BE=AB﹣AE=10﹣6=4，

在Rt△BDE中，由勾股定理得，

DE2 BE2=BD2，

即CD2 42=（8﹣CD）2，

解得：CD=3，

在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2 CD2=AD2，

即32 62=AD2，

解得：AD=

．

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