中值定理分為：微分中值定理和積分中值定理。

微分中值定理包括羅爾(Rolle)中值定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理。其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以說其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情況或推廣。微分中值定理反映了導數的局部性與函數的整體性之間的關系，應用十分廣泛。

提出者：法國人米歇爾·羅爾（Michel Rolle,法,1652－1719）。

如果 R 上的函數 f(x) 滿足以下條件：（1）在閉區間 [a,b] 上連續，（2）在開區間 (a,b) 内可導，（3）f(a)=f(b)，則至少存在一個 ξ∈(a,b)，使得 f'(ξ)=0。，或者有轉折點，導數都是0。

羅爾定理通過下圖可以很直觀地理解：

假設從時刻a到時刻b，速度v與時間t存在函數關系v(t)，如果時間點a與時間點b的速度要相同的話：

情形一：先加速，後降速，則中間一定存在一極值；

情形二：先降速，後加速，則中間一定存在一極值；

情形三：加速、降速、加速、降速，存在三個轉折點，三個極值；

情形四：勻速；

實例：用羅爾中值定理證明：方程3ax² 2bx-(a b)=0在 (0,1) 内有實根。

設F(x)=ax³ bx²-(a b)x

則 F(x) 在 [0,1] 上連續，在 (0,1) 内可導，F(0)=F(1)=0，所以由羅爾中值定理，至少存在一點ξ∈(0,1)，使得F'(ξ)=0，F'(x)=3ax² 2bx-(a b)，所以3aξ² 2bξ-(a b)=0，所以ξ是方程3ax² 2bx-(a b)=0在 (0,1) 内的一個實根。

拉格朗日中值定理Lagrange Mean Value Theorem

拉格朗日中值定理又稱拉氏定理，是微分學中的基本定理之一，它反映了可導函數在閉區間上的整體的平均變化率與區間内某點的局部變化率的關系。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式的弱形式（一階展開）。

法國數學家拉格朗日于1797年在其著作《解析函數論》的第六章提出了該定理，并進行了初步證明，因此人們将該定理命名為拉格朗日中值定理。

如果函數f(x)滿足：

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)内可導；

那麼在開區間(a,b)内至少有一點ε(a<ε<b)使等式f(b)-f(a)=f'(ε)(b-a)成立。

f'(ε)=(f(b)-f(a))/(b-a)表示函數在閉區間[a,b]上整體變化的平均變化率，f'(ε)表示開區間(a,b)内某點ε處函數的局部變化率。于是，拉格朗日中值公式反映了可導函數在[a,b]上的整體平均變化率與在(a,b)内某點ε處函數的局部變化率的關系。若從力學角度來看，上述中值定理表示整體上的平均速度等于某一内點處的瞬時速度。因此，拉格朗日中值定理是聯結局部與整體的紐帶。

想像你開始一段跑步，在時間點a、b間，你的速度是f(t)，則平均速度就是f'(ε)=(f(b)-f(a))/(b-a)。在整個跑步過程中，你一定會有一個或多個時間點的瞬時速度等于平均速度。

其他形式

記ε=a θ(b-a)(0<θ<1)，令a=x, b=x Δx，則有Δy = f(x Δx)-f(x) = f'(x θΔx)Δx(0<θ<1)

上式稱為有限增量公式。

在學習微分的時候，我們知道函數的微分dy=f'(x)Δx是函數的增量Δy的近似表達式，一般情況下隻有當|Δx|很小的時候，dy和Δy之間的近似度才會提高；而有限增量公式卻給出了當自變量x取得有限增量Δx（|Δx|不一定很小）時，函數增量Δy的準确表達式，這就是該公式的價值所在。

幾何意義

若連續曲線y=f(x)在A(a,f(a))，B(b,f(b))兩點間的每一點處都有不垂直于x軸的切線，則曲線在A，B間至少存在1點P(ξ,f(ξ))，使得該曲線在P點的切線與割線AB平行。

運動學意義

對于曲線運動在任意一個運動過程中至少存在一個位置（或一個時刻）的瞬時速率等于這個過程中的平均速率。

拉格朗日中值定理在柯西的微積分理論系統中占有重要的地位。可利用拉格朗日中值定理對洛必達法則進行嚴格的證明，并研究泰勒公式的餘項。從柯西起，微分中值定理就成為研究函數的重要工具和微分學的重要組成部分。

柯西中值定理Cauchy mean value theorem

提出者：法國人柯西（Cauchy，Augustin Louis 1789-1857）

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推廣，是微分學的基本定理之一。其幾何意義為，用參數方程表示的曲線上至少有一點，它的切線平行于兩端點所在的弦。該定理可以視作在參數方程下拉格朗日中值定理的表達形式。

柯西中值定理粗略地表明，對于兩個端點之間的給定平面弧，至少有一個點，弧的切線通過其端點平行于切線。

設函數f(x),g(x)

（1）在閉區間[a,b]上連續；

（2）在開區間(a,b)内可導；

（3）對任意x∈(a,b)，g'(x)≠0，那麼在(a,b)内至少有一點ξ∈(a,b)，使得

成立。

在柯西中值定理中，若取g(x)=x時，則其結論形式和拉格朗日中值定理的結論形式相同。因此，拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推廣。

幾何意義

積分中值定理

若函數f(x)在閉區間[a,b]上連續,，則在積分區間[a,b]上至少存在一個點ε，使下式成立

其中，a、b、ε滿足：a≤ε≤b。

積分中值定理在應用中所起到的重要作用是可以使積分号去掉，或者使複雜的被積函數化為相對簡單的被積函數，從而使問題簡化。因此，對于證明有關題設中含有某個函數積分的等式或不等式，或者要證的結論中含有定積分，或者所求的極限式中含有定積分時，一般應考慮使用積分中值定理， 去掉積分号，或者化簡被積函數。

附：

		f(x)			f'(x)		Δx			Δy = f(x Δx)-f(x)
		x²		f(b)-f(a)	2x		dx			= f'(x θΔx)Δx
a	b	a²	b²	b²-a²	2a	2b	b-a	θ	θΔx	(0<θ<1)
3	4	9	16	7	6	8	1	0.5	0.5	7
4	6	16	36	20	8	12	2	0.5	1	20
10	11	100	121	21	20	22	1	0.5	0.5	21
11	13	121	169	48	22	26	2	0.5	1	48
		f(x)			f'(x)		Δx
		b³		f(b)-f(a)	3x²		dx			3a²
a	b	a³	b³	b³-a³	3a²	3b²	b-a	θ	θΔx	f'(x θΔx)
3	4	27	64	37	27	48	1	0.5	0.5	36.75
4	6	64	216	152	48	108	2	0.5	1	150
10	11	1000	1331	331	300	363	1	0.5	0.5	330.75
11	13	1331	2197	866	363	507	2	0.5	1	864

－End－

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