平面向量基本定理—用長度，面積，和體積來分解向量

平面向量基本定理已說明，平面内任意兩個不共線的非零向量作為基底，可以線性表示該平面内的所有向量；但并沒有說明兩個基底的系數應該是多少，我們通常都是根據平行四邊形法則，分解向量，或者通過多次線性表示，不斷推倒，來看另外一個思路，利用幾何信息來線性表示向量！

平面向量基本定理已說明，平面内任意兩個不共線的非零向量作為基底，可以線性表示該平面内的所有向量；但并沒有說明兩個基底的系數應該是多少；該結論啟發我們，兩個線性表示的系數，可以轉換成三角形的面積比，将該系數賦予了幾何意義！

總結一下：

一維，1個基底，用長度之比，确定線性表示系數

二維，2個基底，用面積之比，确定線性表示系數

三維，3個基底，用體積之比，确定線性表示系數

這個其實就是被大部分老師稱為的“奔馳定理”（形似奔馳Logo），也就是說，平面内任意起點出發的三個不共線向量，線性相加可得到零向量，系數之比即三個三角形的面積之比！很多向量題目中給出三角形面積之比，也是基于該定理；同時，點P為平面内任意一點，當然也包括“四心”，所以也可以進一步推導出三角形四心的表示方法！

奔馳定理的證明方法不止這一種，隻不過每個人認為的已知條件不一樣，所以證明方法有多種！我的思路是先通過初中的平面幾何知識，推倒“奔馳定理”，然後再幫助推導出三角形“四心”的向量表示方式！從一般到特殊，挺不錯的思路！

接下來看證明過程，體會不同位置系數的特征

圖示

證明過程

重心

外心

内心

垂心

很多時候，題目中會引入一個任意點P，其實它完全是打醬油的，通過減法運算可以讓它消失，但你需要認識這種表示形式！

按照從一般到特殊的方式，我們通過奔馳定理依次推導證明出三角形四心的一類表示方法，思路看起來已經很清晰，也可以開始識記了！但是，畢竟這類表示形式（如下表），更應該體會的是，為什麼一個向量為何可以用表格中的數乘關系來表示；也就是說，下表中的各式均可變形成另外一類形式（如表二），這類形式如果也能直接理解證明，最好不過！

接下來看證明過程，體會四個證明過程的相似性，以及是如何使用中點，角分線，外接圓，高線這些幾何信息的！

以上四個證明過程，不管是哪種心，證明的出發點，都是按照平面向量基本定理，把一個向量分解到另外兩個方向上；而且數乘的系數都是轉化成了FA與FB之比，而FA與FB之比又可以轉化成，點A和點B到CF的距離之比，這個比正是，S_B與S_A之比，又反推出了奔馳定理！

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