立體幾何内切球外接球動态問題-tft每日頭條

立體幾何内切球外接球動态問題

教育更新时间:2025-02-14 04:19:54

一、外接球的問題

簡單多面體外接球問題是立體幾何中的難點和重要的考點，此類問題實質是解決球的半徑尺或确定球心0的位置問題，其中球心的确定是關鍵．

（一）由球的定義确定球心

在空間，如果一個定點與一個簡單多面體的所有頂點的距離都相等，那麼這個定點就是該簡單多面體的外接球的球心．

由上述性質，可以得到确定簡單多面體外接球的球心的如下結論．

結論1：正方體或長方體的外接球的球心其體對角線的中點．

結論2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的連線的中點．

結論3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的連線的中點．

結論4：正棱錐的外接球的球心在其高上，具體位置可通過計算找到．

結論5：若棱錐的頂點可構成共斜邊的直角三角形，則公共斜邊的中點就是其外接球的球心

立體幾何内切球外接球動态問題（記住這八個模型）1

（二）構造正方體或長方體确定球心

長方體或正方體的外接球的球心是在其體對角線的中點處．以下是常見的、基本的幾何體補成正方體或長方體的途徑與方法．

途徑1：正四面體、三條側棱兩兩垂直的正三棱錐、四個面都是是直角三角形的三棱錐都分别可構造正方體．

途徑2：同一個頂點上的三條棱兩兩垂直的四面體、相對的棱相等的三棱錐都分别可構造長方體和正方體．

途徑3：若已知棱錐含有線面垂直關系，則可将棱錐補成長方體或正方體．

途徑4：若三棱錐的三個側面兩兩垂直，則可将三棱錐補成長方體或正方體．

（三）由性質确定球心

利用球心O與截面圓圓心O1的連線垂直于截面圓及球心O與弦中點的連線垂直于弦的性質，确定球心．

二、内切球問題

若一個多面體的各面都與一個球的球面相切，則稱這個多面體是這個球的外切多面體，這個球是這個多面體的内切球。

1、内切球球心到多面體各面的距離均相等，外接球球心到多面體各頂點的距離均相等。

2、正多面體的内切球和外接球的球心重合。

3、正棱錐的内切球和外接球球心都在高線上，但不重合。

4、基本方法：構造三角形利用相似比和勾股定理。

5、體積分割是求内切球半徑的通用做法。

立體幾何内切球外接球動态問題（記住這八個模型）2

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