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高中數學常見幂函數圖像

教育 更新时间:2025-11-14 02:53:12

1、幂函數的概念

一般地，函數

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叫做幂函數，其中是自變量，是常數；其定義域是使

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有意義的值的集合。

例1、已知幂函數

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，且當

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時

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為減函數。求幂函數的解析式。

分析：正确理解幂函數的概念、幂函數的圖象與性質。求幂函數的解析式，一般用待定系數法，弄明白幂函數的定義是解題的關鍵。

解答：由于

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為幂函數，

所以

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，解得

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，或

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。

當時，

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，

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在上為減函數；

當時，

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，

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在上為常函數，不合題意，舍去。

故所求幂函數

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的解析式為

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。

2、幂函數的圖象和性質

圖象：

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性質：

（1）所有的幂函數在上都有定義，并且圖象都過點；

（2）如果

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，則幂函數的圖象過點

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和，并且在區間

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上是增函數；

（3）如果

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，則幂函數的圖象過點，并在區間上是減函數。在第一象限内，當從

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趨向于原點時，圖象在

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軸右方無限地逼近軸，當趨于時，圖象在軸上方無限地逼近軸；

（4）當為奇數時，幂函數為奇函數；當為偶數時，幂函數為偶函數。

例2、比較

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，，

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的大小。

分析：先利用幂函數

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的增減性比較與的大小，再根據幂函數的圖象比較與的大小。

解答：

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而在上單調遞增，且

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，

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。故

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。

例3、若函數

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在區間

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上是遞減函數，求實數m的取值範圍。

分析：本題考查簡單幂函數的性質以及函數圖象的平移問題。

函數

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是一個比較常用的幂函數，它也叫做反比例函數，其定義域是

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，是一個奇函數，對稱中心為（0，0），在

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和上都是遞減函數。一般地，形如

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的函數都可以通過對

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的圖象進行變換而得到，所以這些函數的性質都可以借助的性質來得到。

解答：由于

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，所以函數的圖象是由幂函數

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的圖象先向右平移2個單位，再向上平移3個單位得到的，所以其圖象如圖所示。

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其單調遞減區間是

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和

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，而函數在區間

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上是遞減函數，所以應有

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。

例4、若點

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在幂函數

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的圖象上，點

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在幂函數

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的圖象上，定義

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，試求函數

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的最大值及其單調區間。

分析：首先根據幂函數的定義求出

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，然後在同一坐标系下畫出函數和的圖象，得出

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的函數圖象，最後根據圖象求出最大值和單調區間。

解答：設

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，因為點在的圖象上，所以

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，所以

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，即；

又設

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，點在的圖象上，所以

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，所以

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，即

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。

在同一坐标系下畫出函數和的圖象，如圖所示，則有

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。

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根據圖象可知函數的最大值等于

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，其單調遞增區間是（

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，－1）和（0，1）；單調遞減區間是

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和

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。

例5、已知幂函數

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是偶函數，且在上是減函數，求函數的解析式，并讨論

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的奇偶性。

分析：先根據單調性求出m的取值範圍，再由奇偶性進一步确定m的取值。讨論

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的奇偶性時要注意對字母的讨論。

解答：由在上是減函數得

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，

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。∵

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，

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0，1。

又因為是偶函數，∴隻有當

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時符合題意，故

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。

于是

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，

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。

當

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且

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時，為非奇非偶函數；

當

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且時，為奇函數；

當且

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時，為偶函數；

當且時，為既奇又偶函數。

例6、已知幂函數

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在

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上是增函數，且在定義域上是偶函數。

（1）求的值，并寫出相應的函數的解析式；

（2）對于（1）中求得的函數，設函數

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。問是否存在實數

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，使得函數在區間上是減函數，且在區間上是增函數？若存在，請求出

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的值；若不存在，請說明理由。

分析：第一問先根據單調性求出的取值範圍，再由奇偶性進一步确定的取值。第二問可根據複合函數單調性的規律來解。

解答：（1）∵幂函數

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在上是增函數，∴

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∴

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又

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，∴

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∵在定義域上是偶函數，∴隻有當

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時符合題意，故。

（2）由，則

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。

假設存在實數，使得滿足題設條件。令

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，則

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。

∵在上是減函數，∴當

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時，

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；當

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時，

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。

若在區間上是減函數，且在區間上是增函數，則

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在

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上是減函數，且在

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上是增函數，此時二次函數的對稱軸方程是

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即

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，

∴

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。

故存在實數，使得函數在區間上是減函數，且在區間上是增函數。

,

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