高中數學題型詳解?考點二 命題及其關系、充分條件與必要條件，現在小編就來說說關于高中數學題型詳解?下面内容希望能幫助到你，我們來一起看看吧!

高中數學題型詳解

考點二 命題及其關系、充分條件與必要條件

知識梳理

1．命題的概念

可以判斷真假、用文字或符号表述的語句，叫作命題．其中判斷為真的語句叫真命題，判斷為假的語句叫假命題．

2．四種命題及相互關系

(1) 四種命題

命題

表述形式

原命題

若p，則q

逆命題

若q，則p

否命題

若非p，則非q

逆否命題

若非q，則非p

(2) 四種命題間的逆否關系

3．四種命題的真假關系

(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；

(2)兩個命題互為逆命題或互為否命題，它們的真假性沒有關系．

4．充分條件與必要條件

(1)如果p⇒q，則p是q的充分條件，q是p的必要條件；

(2)如果p⇒q，q⇒p，則p是q的充要條件．

(3) 如果pq，qp，那麼稱p是q的充分不必要條件．

(4) 如果qp，pq，那麼稱p是q的必要不充分條件．

(5) 如果p q，且qp，那麼稱p是q的既不充分也不必要條件．

典例剖析

題型一 四種命題及其相互關系

例1　命題“若一個數是負數，則它的平方是正數”的逆命題是(　　)

A．“若一個數是負數，則它的平方不是正數”

B．“若一個數的平方是正數，則它是負數”

C．“若一個數不是負數，則它的平方不是正數”

D．“若一個數的平方不是正數，則它不是負數”

答案　B

解析　将原命題的條件與結論互換即得逆命題，故原命題的逆命題為“若一個數的平方是正數，則它是負數”．

變式訓練 命題“若x，y都是偶數，則x＋y也是偶數”的逆否命題是(　　)

A．若x＋y是偶數，則x與y不都是偶數

B．若x＋y是偶數，則x與y都不是偶數

C．若x＋y不是偶數，則x與y不都是偶數

D．若x＋y不是偶數，則x與y都不是偶數

答案　C

解析　由于“x，y都是偶數”的否定表達是“x，y不都是偶數”，“x＋y是偶數”的否定表達是“x＋y不是偶數”，故原命題的逆否命題為“若x＋y不是偶數，則x，y不都是偶數”，故選C.

解題要點 1.寫一個命題的其他三種命題時，需注意：

①對于不是“若p，則q”形式的命題，需先改寫；

②若命題有大前提，寫其他三種命題時需保留大前提．

2.一些常見詞語的否定

詞語

是

相等

>

<

都是

都不是

否定

不是

不相等

≤

≥

不都是

至少有一個是

例2　有下列幾個命題：

①“若a＞b，則a2＞b2”的否命題；

②“若x＋y＝0，則x，y互為相反數”的逆命題；

③“若x2＜4，則－2＜x＜2”的逆否命題．

其中真命題的序号是________．

答案 ②③

解析 ①原命題的否命題為“若a≤b，則a2≤b2”，錯誤．

②原命題的逆命題為：“若x，y互為相反數，則x＋y＝0”，正确．

③原命題的逆否命題為“若x≥2或x≤－2，則x2≥4”，正确．

變式訓練 下列有關命題的說法正确的是________．(填序号)

① 命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2＝1，則x≠1”；

② 若一個命題是真命題，則其逆命題也是真命題；

③ 命題“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“對任意x∈R，均有x2＋x＋1<0”；

④ 命題“若x＝y，則sinx＝siny”的逆否命題為真命題．

答案 ④

解析 命題“若x2＝1，則x＝1”的否命題為“若x2≠1，則x≠1”，所以①不正确；原命題與逆命題不等價，所以②不正确；命題“存在x∈R，使得x2＋x＋1<0”的否定是“對任意x∈R，均有x2＋x＋1≥0”，所以③不正确；命題“若x＝y ，則sinx＝siny”是真命題，所以逆否命題為真命題，④正确．

解題要點 1.判斷一個命題為真命題，要給出推理證明；判斷一個命題是假命題，隻需舉出反例．

2.根據“原命題與逆否命題是等價的，逆命題與否命題也是等價的”這一性質，當一個命題直接判斷不易進行時，可轉化為判斷其等價命題的真假．

題型二 充分條件與必要條件

例3　已知p：“a，b，c成等比數列”，q：“b＝”，那麼p是q的(　　)

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

答案 D

解析 若a，b，c成等比數列，則有b2＝ac，所以b＝±，所以充分性不成立．當a＝b＝c＝0時，b＝成立，但此時a，b，c不成等比數列，所以必要性不成立，所以p是q的既不充分也不必要條件．

變式訓練 在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分别為a，b，c，則“a≤b”是“sin A≤sin B”的 (　　)

A．充分必要條件 B．充分非必要條件 C．必要非充分條件 D．非充分非必要條件

答案 A

解析 由正弦定理，知a≤b⇔2Rsin A≤2Rsin B(R為△ABC外接圓的半徑)⇔sinA≤sinB．

例4　設函數f(x)＝log2x，則“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的________(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分又不必要”)條件．

答案 必要不充分

解析 因為f(x)＝log2x在區間(0，＋∞)上是增函數，所以當a>b>0時，f(a)>f(b)；反之，當f(a)>f(b)時，a>b.故“a＞b”是“f(a)＞f(b)”的必要不充分條件．

變式訓練 設x∈R，則“x>1”是“”的( )

A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

答案 A

解析 由不等式得，即或，所以由可以得到不等式成立，故充分性成立；但由不一定得到，所以必要性不成立，即“x>1”是“”的充分而不必要條件．

解題要點 1．充要條件問題應首先弄清問題中條件是什麼，結論是什麼，再進一步判斷條件與結論的關系，解題過程分為三步：①确定條件是什麼，結論是什麼；②嘗試從條件推結論，從結論推條件；③确定條件和結論是什麼關系．

2．充要條件的三種判斷方法

(1) 定義法：根據pq，qp進行判斷；

(2) 集合法：根據p、q成立的對象的集合之間的包含關系進行判斷；

(3) 等價轉化法：根據一個命題與其逆否命題的等價性，把判斷的命題轉化為其逆否命題進行判斷．

當堂練習

1. 設p：1<x<2，q：2x>1，則p是q成立的(　　)

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

答案　A

解析　當1<x<2時，2<2x<4，∴p⇒q；但由2x>1，得x>0，∴qp，故選A.

2．設, 則 “”是“”的 (　　)

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

答案 A

解析 由(a－b)a2<0⇒a≠0且a<b，∴充分性成立；

由a<b⇒a－b<0，當0＝a<b時 (a－b)·a2<0，必要性不成立；故選A.

3．已知m，n是兩條不同直線，α，β是兩個不同平面，則下列命題正确的是(　　)

A．若α，β垂直于同一平面，則α與β平行

B．若m，n平行于同一平面，則m與n平行

C．若α，β不平行，則在α内不存在與β平行的直線

D．若m，n不平行，則m與n不可能垂直于同一平面

答案　D

解析　對于A，α，β垂直于同一平面，α，β關系不确定，A錯；對于B，m，n平行于同一平面，m，n關系不确定，可平行、相交、異面，故B錯；對于C，α，β不平行，但α内能找出平行于β的直線，如α中平行于α，β交線的直線平行于β，故C錯；對于D，若假設m，n垂直于同一平面，則m∥n，其逆否命題即為D選項，故D正确．

4．已知i是虛數單位，a，b∈R，得“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的 條件．

答案 充分不必要條件

解析 當a＝b＝1時，(a＋bi)2＝(1＋i)2＝2i；

當(a＋bi)2＝2i時，得

解得a＝b＝1或a＝b＝－1，

所以“a＝b＝1”是“(a＋bi)2＝2i”的充分不必要條件．

5.U為全集,A,B是集合,則“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅” 條件．

答案　充要條件

解析　若存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC，則可以推出A∩B＝∅；

若A∩B＝∅，由Venn圖(如圖)可知，存在A＝C，同時滿足A⊆C，B⊆∁UC.

故“存在集合C使得A⊆C，B⊆∁UC”是“A∩B＝∅”的充要條件．

課後作業

選擇題

1．下列語句中命題的個數是(　　)

①2<1；②x<1；③若x<2，則x<1；④函數f(x)＝x2是R上的偶函數.

A.0 B.1 C.2 D.3

答案 D

2．“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)

A．充要條件 B．充分而不必要條件 C．必要而不充分條件 D．既不充分也不必要條件

答案　A

解析　解x2－2x＋1＝0得x＝1，所以“x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的充要條件．

3．“1<x<2”是“x<2”成立的(　　)

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件

答案 A

4．設p：x<3，q：－1<x<3，則p是q成立的(　　)

A．充分必要條件 B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件

答案　C

解析　∵x<3－1<x<3，但－1<x<3⇒x<3，∴p是q的必要不充分條件，故選C.

5．下列結論錯誤的是(　　)

A．命題“若x2－3x－4＝0，則x＝4”的逆否命題為“若x≠4，則x2－3x－4≠0”

B．“x＝4”是“x2－3x－4＝0”的充分條件

C．命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆命題為真命題

D．命題“若m2＋n2＝0，則m＝0且n＝0”的否命題是“若m2＋n2≠0，則m≠0或n≠0”

答案　C

解析　C項命題的逆命題為“若方程x2＋x－m＝0有實根，則m>0”．若方程有實根，則Δ＝1＋4m≥0，即m≥－，不能推出m>0.所以不是真命題，故選C.

6．若m∈R, 命題“若m>0，則方程x2＋x－m＝0有實根”的逆否命題是(　　)

A．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m＞0 B．若方程x2＋x－m＝0有實根，則m≤0

C．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m＞0 D．若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0

答案　D

解析　原命題為“若p，則q”，則其逆否命題為“若q，則p”．

∴所求命題為“若方程x2＋x－m＝0沒有實根，則m≤0”．

7．已知命題p：若x＝－1，則向量a＝(1，x)與b＝(x＋2，x)共線，則在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為(　　)

A．0 B．2 C．3 D．4

答案　B

解析　向量a，b共線⇔x－x(x＋2)＝0⇔x＝0或x＝－1，

∴命題p為真，其逆命題為假，

故在命題p的原命題、逆命題、否命題、逆否命題中，真命題的個數為2.

8．設α，β是兩個不同的平面，m是直線且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的(　　)

A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件

答案　B

解析　m⊂α，m∥βα∥β，但m⊂α，α∥β⇒m∥β，∴m∥β是α∥β的必要而不充分條件．

二、填空題

9．x≠3或y≠5是x＋y≠8的____________條件．(選填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)

答案 必要不充分

解析 設p：x＝3且y＝5，q：x＋y＝8，顯然p是q的充分不必要條件，

∴p是q的必要不充分條件，即x≠3或y≠5是x＋y≠8的必要不充分條件．

10．“若a≤b，則ac2≤bc2”，則命題的原命題、逆命題、否命題和逆否命題中真命題的個數是________．

答案　2

解析　其中原命題和逆否命題為真命題，逆命題和否命題為假命題．

11．(1)“x>y>0”是“<”的________條件．

(2) 設a，b∈R，則“a＞b”是“a|a|＞b|b|”的________條件．

答案　(1)充分不必要　(2)充要

解析　(1)<⇒xy·(y－x)<0，

即x>y>0或y<x<0或x<0<y.

所以x>y>0 ⇒<，但反過來<，

所以是充分不必要條件．

(2) 構造函數f(x)＝x|x|，則f(x)在定義域R上為奇函數．

因為f(x)＝所以函數f(x)在R上單調遞增，所以a＞b⇔f(a)＞f(b)⇔a|a|＞b|b|.

所以是充要條件．

12．下列命題：①“若k＞0，則方程x2＋2x＋k＝0有實根”的否命題；②“若＞，則a＜b”的逆命題；③“梯形不是平行四邊形”的逆否命題，其中是假命題的是________.

答案　①②

解析　對于①其否命題為“若k≤0，則方程x2＋2x＋k＝0無實根”，為假命題；②的逆命題為“若a＜b，則＞”，為假命題；③中原命題為真命題，故其逆否命題也為真命題.

13．“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有實數解”的____________條件．

答案　充分不必要

解析　x2＋x＋m＝0有實數解等價于Δ＝1－4m≥0，

即m≤，因為m<⇒m≤，反之不成立．

故“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有實數解”的充分不必要條件．

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