本篇開始進入微積分的第二個部分——多元函數微積分。微積分的三部曲：一元函數微積分，多元函數微積分，級數。本篇讨論矢量，給出矢量運算的物理意義，特别是點乘和叉乘！

多元函數微積分不好弄。多元不僅僅是多了幾個自變量而已，這一多，多出了一個矢量概念。所以一般教材，下冊（一般都分上下冊，上冊講一元函數和微分方程，下冊講多元函數和級數）開篇講矢量和空間。要理解多元函數微積分，重點在理解矢量，特别是矢量運算的物理意義，加減乘除。

多元函數微積分，整個過程跟一元函數一樣。先從極限入手，再讨論連續、導數，注意這裡是偏導了，再進入微分（全微分），順帶提一下梯度，之後就是積分，最後由統一公式結尾。統一公式相當于一元函數中的牛頓萊布尼茲公式。積分稍微複雜一點，複雜在第二類積分，因為有矢量的内積。積分之後稍微帶一帶場論。基本上就是下面這個步驟：

1. 鄰域，極限，連續
2. 偏導，全微分
3. 梯度（捎帶）
4. 積分（重積分，第一類曲線曲面積分，第二類曲線曲面積分）
5. 三度（梯度散度旋度）和場論
6. 三劍客（格林公式，高斯公式，斯托克斯公式）和微積分統一公式（捎帶外微分）

很經典，沒有任何問題。但是，有一個概念貫穿始終，就是矢量。

所以，如果不理解矢量的物理意義，特别是矢量運算的物理意義，要學通多元函數微積分，絕對不可能。

而矢量的物理意義，在微積分教材中基本一筆帶過，因為作者認為，你高中學！過！了！但是很冤，高中對于矢量的訓練，遠不及初等函數。所以你很能理解一元函數微積分中的導數的物理意義，積分的物理意義（曲邊梯形的面積，變速跑的總路程），但是到了多元函數，一頭霧水。問題還不在于教材作者，因為有些東西，沒有多元函數微積分的知識，理解不了。想一下大學物理是不是安排在第二學年？明白了吧，先有蛋還是先有雞？沒辦法，先塞給你一個蛋再說。

所以，學習多元函數微積分，必須夯實矢量基礎！而且學完後，必須再回過頭反複品味矢量。因為，多元函數微積分就是矢量的加減法！就如一元函數微積分，講的是實數的加減法！

不講了，講這個是在侮辱你的智商。

很簡單，打過架的人知道，力是矢量，有體會怎麼用力。一般教材都用平行四邊形對角線解釋，也非常易懂。

這也沒什麼好講的。

這是重點！矢量乘法居然有内積和外積。一開始接觸的人肯定是一頭霧水。隻能死記硬背内外積的一對公式定理，還扯上了餘弦定理。

餘弦定理解釋矢量内積是最愚蠢的，沒事你把三角定理弄進來幹啥？還不夠亂？

要理解矢量的内積，我們可以先從内積的結果入手。兩個矢量的内積是标量。也就是說，内積至少表明，一個矢量物理量，在沿着矢量的作用，會産生一個标量。

所以内積是描述矢量的某種行為的标量結果。

這是我們得到的第一條結論。也就是說，如果這個宇宙中，矢量會産生标量，那麼它就一定會按照這個運算法則産生。而且矢量的數乘是得不到标量的。也就是說

矢量行為的标量結果，必須通過内積完成。

這是第二條結論。

總的來講，這個宇宙裡，矢量要向标量轉化，必須通過内積！内積是矢量到标量的必須途徑。

放個圖，方便讨論

接下去的問題為什麼是相同坐标的分量相乘，再累加？可不可以是亂七八糟一通乘，交叉着乘，像外積一樣？要徹底理解這個算法的定義，需要配合高斯公式，是很後面的内容了，這裡簡單說下。這個是數量守恒的必然結果。先把論點抛出來。

數量場守恒：如果一個矢量場及其散度滿足Gauss公式描述的相互關系，則其散度所指的那個數量場必守恒。

Gauss公式體是通過矢量的内積運算表示這個守恒律。所以，矢量的内積運算是數量守恒的必然結果。也就是如果你選擇相信數量守恒，則在數學上必須定義一種矢量之間的運算表示為

至于稱為“點積”、“内積”還是張三李四積都可以。或者說，如果你穿越到了某個平行宇宙，發現那邊也有矢量，但是很奇怪

這就說明那個平行宇宙不遵循數量場守恒。

矢量内積的物理意義：表示了宇宙的數量守恒定律

這裡暫時可以結合力的作功和能量守恒體會一下。

外積比内積更惡心，有沒有

居然弄出了行列式，那我就問你，二維矢量有沒有外積？

！！！這個坑很大！！！留着後面填，慣例先說結論：可以有。注意措辭，是“可以”有！

噱微岔開一下。

多元函數的筆記隻能如此，我也是一遍遍反複領悟，所以多元函數微積分中，哪個概念是哪個的前提，是不可能有這種說法的。每個概念都交互交織，你必須一遍遍捋。

我們可以用對内積的讨論過程讨論外積。有些過程就略了，你慢慢細品。

結論一，矢量外積是兩個矢量作用産生矢量的的方法，不是唯一，因為有矢量加減法。

矢量數乘雖然也是矢量，但這隻能算作矢量自身的變化，算不上兩個矢量的作用。

考察矢量外積，必須和斯托克斯公式聯系起來。原因很簡單，外積就是給斯托克斯準備的。你翻遍微積分，偏導、全微分、重積分、兩類曲線和曲面積分，最多就到内積，沒有外積！斯托克斯表達的是宇宙的另一個守恒律，矢量守恒。

如果一個矢量場及其旋度滿足Stokes公式描述的關系，則這兩個矢量場構成守恒關系。

和矢量内積一樣，我們同樣也可以認為，矢量外積是矢量守恒的必然結果。如果你相信矢量守恒，則必須定義外積和這樣的運算方式。同樣，如果某個平行宇宙矢量外積不是這個樣子，這就說明那個平行宇宙不遵循矢量場守恒。

這裡暫時想不到一個比較好的物理概念。

回頭再看矢量的運算：

• 加、減
• 數乘、數除
• 内積
• 外積

等一下，内除和外除怎麼沒有？數學怎麼能如此不對稱！你翻遍任何一本微積分，都沒有提到内除和外除。群體性失聲！

恭喜你，發現了宇宙運行的另一個規律，關于時間旅行是否可行。這個缺失的東西必然隐藏着重大的陰謀有沒有？

細品這篇說的矢量，同樣，要理解多元函數微積分，熟練掌握三維空間的矢量運算，直線定義，平面的矢量表示，法線方向，切線求法等等。

下一篇讨論那個缺失的内除和外除，我們來試圖探索一下矢量的除法，通過這個看看時間旅行是否可能。

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