二階常系數齊次線性方程的定義?今天講一下#考研#數學分析#關于複數的若幹有理函數定理之一般複系數二次方程的根的條件情況讨論，我來為大家科普一下關于二階常系數齊次線性方程的定義?下面希望有你要的答案，我們一起來看看吧!

二階常系數齊次線性方程的定義

今天講一下#考研#數學分析#關于複數的若幹有理函數定理之一般複系數二次方程的根的條件情況讨論。

對于一般複系數二次方程：（a A•i）z^2 2（b B•i）z （c C•i）= 0. 其二次項複系數中a和A不同為零，在該方程兩邊同時除 a A•i . 則可把原複系數二次方程簡化為：z^2 2（b B•i） （c C•i）= 0 作為标準形式考察。可置 z = x y•i，令實部和虛部分别相等，得關于 x 和 y 的一對方程組聯立，亦即：x^2 - y^2 2（bx - By） c = 0 … ①，2xy 2（by Bx） C = 0 … ②. 不妨令：x b = ξ ，y B = η ，b^2 - B^2 = h ，2bB - C = k ，上述方程組就變為： ξ^2 - η^2 = h … ③

2ξη = k …④ 将 ③^2 ④^2 可得：ξ^2 η^2 = （h^2 k^2）^（1/2），其中 ξ = ± ｛1/2【（h^2 k^2）^（1/2） h】｝^（1/2），η = ± ｛1/2【（h^2 k^2）^（1/2）- h】｝^（1/2）. 注意，這裡必須選取符号以使 ξη 與 k 有相同的符号：若 k ＞0，則 ξ 和 η 取正，若 k ＜0，則 ξ 和 η 取負.

上述一般複系數二次方程有根條件各種情況分類說明：

1.有等根的條件. 僅當上面兩個平方根都為零，即：h = k = 0 ，也即： c = b^2 - B^2，C = 2bB 時兩個才相等，上述條件等價于 c C•i = （b B•i）^2，它表達标準形式方程：z^2 2（b B•i）z （c C•i）= 0 的左邊是一個完全平方形式。

2.有實根的條件. 若方程 x^2 2（b B•i）x （c C•i）= 0 ，其中 x 為實數，則有 x^2 2bx c = 0 ，2Bx C = 0 ，解出 x 代入二次方程（消去 x），得到所需條件為：C^2 - 4bBC 4cB^2 = 0 .

3.有純虛根的條件. 同上易知所需條件為：C^2 - 4bBC - 4cb^2 = 0

4.有一對共轭複根的條件. 兩共轭複數之和與之積均為實數，故 b B•i 和 c C•i 也必定是實數，即有 B = C = 0 . 因此标準形式複系數二次方程 z^2 2（b B•i）z 2（c C•i）= 0 可有一對共轭複根，僅當其系數都為實數（我們可以通過根的顯示表達式驗證此結論）. 特别地注意，若 b^2 ≥ c，此時方程根均為實數，由此為了使一般複系數二次方程有一對共轭複根，則推出必有 B = C = 0，且 b^2＜c。

下次講述#考研#數學分析内容：三次方程根的分布（實根，純虛根，共轭複根）條件讨論結論。

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