已知函數f（x）=lnx a/x（a＞0）．
（Ⅰ） 若函數f（x）有零點，求實數a的取值範圍；
（Ⅱ） 證明：當a≥2/e，b＞1時，f（lnb）＞1/b．
解：（Ⅰ）法1：函數f（x）=lnx a/x的定義域為（0， ∞）．
由f（x）=lnx a/x，得f'（x）=1/x-a/x2=(x-a)/x2．…
因為a＞0，則x∈（0，a）時，f'（x）＜0；x∈（a， ∞）時，f'（x）＞0．
所以函數f（x）在（0，a）上單調遞減，在（a， ∞）上單調遞增．…
當x=a時，[f（x）]min=lna 1．…
當lna 1≤0，即0＜a≤1/e時，又f（1）=ln1 a=a＞0，則函數f（x）有零點．…
所以實數a的取值範圍為（0，1/e]．…
法2：函數f（x）=lnx a/x的定義域為（0， ∞）．
由f（x）=lnx a/x=0，得a=﹣xlnx．…
令g（x）=﹣xlnx，則g'（x）=﹣（lnx 1）．
當x∈（0，1/e）時，g'（x）＞0； 當x∈（1/e, ∞）時，g'（x）＜0．
考點分析：
利用導數求閉區間上函數的最值；利用導數研究函數的單調性．
題幹分析：
（Ⅰ）法一：求出函數f（x）的導數，得到函數的單調區間，求出f（x）的最小值，從而求出a的範圍即可；
法二：求出a=﹣xlnx，令g（x）=﹣xlnx，根據函數的單調性求出g（x）的最大值，從而求出a的範圍即可；
（Ⅱ）令h（x）=xlnx a，通過讨論a的範圍，根據函數的單調性證明即可．
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