兒子從學校放學回家後，問了我一道題目。

有5隻杯子全部杯口朝上放在桌子上，每次翻轉其中的4隻杯子。能否經過若幹次翻轉，使得5隻杯子全部杯口朝下？

小家夥在學校裡沒有做出來，他給出的理由是學校裡沒有杯子，想着回家後拿實際操作一下！但是家裡也沒有這麼多玻璃杯，不過碗有的是。我們很快就在桌子上擺好了五隻碗，讓碗口朝上，接下來就按照規則“每次翻轉其中4隻”開始翻動。

折騰了一陣子，我們唯一的“收獲”就是不小心打碎了一隻碗，但始終沒有翻成5隻碗全部碗口朝下，悲催得緊。然而也不能就此得出“不能”這個答案，有可能是“能”的，隻是我們自己“不能”翻出，或許别人就可以。

毫無疑問，光靠這樣盲目地翻動是不行的，還得需要從數學原理入手，發現這個問題背後隐藏的數學規律。接下來我們就把碗放一邊，開始用筆研究了。

對一個碗來說，隻有“碗口朝上”、“碗口朝下”這兩個狀态。生活中類似的隻有兩個狀态的東西還有不少，比如燈有“開、關”，鎖有“打開、鎖上”，硬币有“正面朝上、反面朝上”… 這些有兩個狀态的東西在數學題目中是經常出現的。對于硬币的狀态，兒子提出了不同意見，認為還可以“豎起來”！好吧，隻是這種情況在數學題目中一般不予考慮。

此類具有兩個狀态的東東，總是和操作聯系緊密。

• 翻碗的操作：讓碗在口朝上、口朝下之間來回切換
• 按開關的操作：讓燈在開、關之間來回切換
• 翻硬币的操作：讓硬币在面朝上、面朝下之間來回切換

假如給定一個初始狀态（比如碗口朝上），再給定一個翻動次數（比如k次），能不能判定翻動k次結束後的結束狀态呢？

回答這個問題沒有難度，因為這是一個簡單的操作類周期問題：

從表格可以看出，如果k除以2餘1則碗口朝下；如果k除以2沒有餘數，則碗口朝上。推而廣之：

• 操作次數為奇數次，則結束狀态不同于初始狀态（狀态改變）
• 操作次數為偶數次，則結束狀态等同于初始狀态（狀态不變）

由此可見，諸如此類隻有兩個狀态的操作問題，與操作次數的“奇偶性”關系密切（從周期性中總結出的規律）。

回到題目上來，每個杯子也是隻有兩種狀态（杯口朝上、杯口朝下），隻不過題目中給出的杯子有5個。初始時，每個杯子的杯口都朝上；問經過若幹次操作後，能否使得杯口朝下。

顯然，每個杯子的杯口朝向都發生了改變，即每個杯子都被操作（翻轉）了奇數次。不妨假設5個杯子被翻動的次數為k1、k2、k3、k4、k5，所有杯子被操作的次數（單個杯子被翻動一次就算操作1次）之和為S=k1 k2 k3 k4 k5。那麼這個總和S是奇數還是偶數呢？

這個基本的奇偶性問題難不住兒子，他很快回答出S是奇數。因為奇數個奇數之和是奇數，S是由5個奇數加起來的，所以S是奇數。

題目規定每次要翻動4個杯子，為了避免混亂，我們不妨稱這裡的“次”為“輪”：每輪操作翻動4個杯子，即翻動4次。假設經過了n輪操作，那麼總共翻動了多少次呢？這當然很簡單，每輪翻動4次、翻動了n輪，翻動總次數S就是4n。

OK，是時候揭曉答案了！假如可以經過若幹次操作，使得5個杯子的杯口朝下，那麼操作總數即可以表示成S=k1 k2 k3 k4 k5，也可以表示成S=4n，顯然有如下等式：

k1 k2 k3 k4 k5=4n

等式左側為奇數，等式右側為偶數，這怎麼可能成立呢？所以結論就很明确了，不是“臣妾做不到”，而是“皇上來了也做不到”，總之誰也做不到！

不過我們并沒有滿足于單單解出這一道題，而是想進一步舉一反三，于是就嘗試着改變了題目的條件：教室裡有7盞全部亮着的燈，每次關掉其中的2盞。能否經過若幹次操作，使得7盞燈全部被關掉？

前後兩個題目對比，看看哪些條件變化了、哪些沒有變，能不能從中抽取出關鍵的數學量、同時排除掉一些不重要或是壓根無關的描述呢？

有7盞燈（關鍵：7是奇數），若想全部7盞燈從亮到滅，因為每盞燈都改變了初始狀态，因此都要操作奇數次。假設這7盞燈分别被操作k1、k2、...、k7次，則7盞燈總共被操作k1 k2 ... k7次。因為7是奇數，且k1、k2、...、k7均為奇數，所以k1 k2 ... k7為奇數，不可能為偶數。

假設根據規則操作了n輪（每輪操作2盞燈，2是偶數）後，7盞燈都滅了；那麼操作的總次數（一盞燈被操作一次就算一次）是2n。由此可以得出如下的等式： k1 k2 ... k7=2n

等式左側為奇數，等式右側為偶數，顯然是不成立的。

現在，你get到此類題目的“出題方向”了嗎？如果你已經get到了，可以動手解決一下這道題哦！

小胖同學嘗試出了一道題目“有m（m≥2）枚硬币全部正面朝上放在桌子上，每次翻轉其中的A枚。經過若幹次翻轉，能使所有硬币全部反面朝上嗎？”但是其中的m、A他不知道應該設計成多少，請幫他一下！

更多精彩资讯请关注tft每日頭條，我们将持续为您更新最新资讯!