量子力學中，讓初學者最困惑的或許是自旋（spin）。當一個人聽到 "自旋 "這個詞時，他可能想到的是一個陀螺圍繞着它的軸線旋轉，或者地球圍繞着它的軸線旋轉。但是，與主觀印象不同，量子力學的自旋不是關于旋轉力學的。根據維基百科的說法：

自旋是基本粒子、複合粒子（強子）和原子核所攜帶的角動量的一種内在形式。

那麼，這意味着什麼呢？要回答這個問題，最好先看看為什麼電子有自旋？這要追溯到20世紀初。物理學家們觀察到，在量子系統中，缺少一些“東西”。那麼，它們所說的“東西”是什麼意思，或者是什麼？

1. 當觀察到的多電子原子光譜（原子的電子所吸收的輻射波長）與當時科學家所認為的其原子光譜進行比較時，出現了小的偏差。雖然這些偏差很小，但這反映了一件事：原子模型還不完全準确。
2. 根據經典電動力學，任何帶電粒子在加速時都會在其周圍産生一個磁場；我們知道，電子是帶電粒子。物理學家們被一個實驗的結果所震驚，在這個實驗中發現，電子本身就像微小的磁鐵。
3. 當物理學家觀測到原子相互作用的角動量時，他們發現角動量守恒定律并不成立！當時的物理學家認為這是自然界的一個基本定律，在量子系統中也不可能被打破。

從這些結果中得出的是量子自旋的想法。物理學家宣稱，該定律沒有被打破，相反，偏差的出現是因為電子本身具有内在的角動量，像在它的内部。但這并不意味着電子在旋轉。這個角動量是自旋的一個固有屬性，不容置疑。我們需要消化這個事實，就消化電子擁有質量，或者電子擁有電荷的事實一樣！我們需要消化這個事實。

第二點中提到的實驗就是所謂的斯特恩-格拉赫實驗（Stern-Gerlach Experiment）。在這個實驗中，電子路徑的偏轉測量了電子的固有角動量。該實驗表明，自旋/内在角動量是 "量化 "的，也就是說，它是一個特定數字的倍數。它不能是任意值。換句話說，它是 "離散的"！。而且，由于20世紀初物理學家對經典電動力學的廣泛共識，人們假設電子也會因為前面提到的原因而'旋轉'，這個概念現在已經被否定了，但名字被保留了下來，這就是'自旋'這個名字的由來。

• 斯特恩-格拉赫實驗。标注為N和S的是兩塊磁鐵，在它們之間形成一個均勻的磁場。2，代表電子束。4和5代表實驗的結果（電子在磁場中的偏轉），分别是有測量和無測量。請注意，在5（沒有事先測量）中，電子隻存在于兩個地方，它們不在也不可能在這兩個點之間。這證明了自旋是一個量化的量子數。

不要自我懷疑，你不是唯一一個難以消化這一事實的人。你和維爾納-海森堡（Werner Heisenberg）和保羅-狄拉克（Paul Dirac）一樣。事實上，物理學家認為，也許将自旋定義為粒子的空間定向（spatial orientation）會更好。

我們稍後将重新讨論這個問題，但首先，自旋的引入是如何影響原子光譜的？如果你将自旋與經典角動量聯系起來，那麼你可能會得出這樣的觀點：這種觀點需要我們将某種能量與電子聯系起來。為什麼？因為如果它有一個角動量，那麼就會有一個相關的扭矩。如果有扭矩，就會做一些功，如果做了功，那就意味着該系統擁有能量（因為能量就是做功的能力）！通過對氫譜線的精确描述，實驗證明了這一點。這兩個結果，氫譜線觀察和斯特恩-格拉赫實驗解釋（并證明）自旋是 "基本粒子所攜帶的角動量的内在形式"。

自旋和空間定向

角動量如何影響粒子的空間定向的？通過大量的數學知識（群論和表示論），可以證明一個粒子的内在角動量會影響其空間定向。為什麼？我喜歡以這種方式思考。畢竟，如果某樣東西被稱為角動量，它将在物體中産生轉動效應。隻是有一個轉動，即這種動量是内在的而不是外在的。所以，如果一個外在的角動量可以改變一個物體的旋轉力學，那麼它的内在角動量就會改變空間定向。

從這種自旋—空間定向的相關性中得出的一個結果是對電子的 "1/2 "自旋的解釋。有人可能會問，自旋為'1/2'是什麼意思？為了理解，讓我們定義，一個電子的任意構型并在一個特定的方向上旋轉它。因此，這個'1/2'自旋意味着電子在旋轉：

1/（1/2）×360°=2×360°=720°

後與它的原始構型完全對稱/相同。一個後續問題可能是："你說的'旋轉720°'是什麼意思，它不是和旋轉360°一樣嗎？"因為：

1. 對于一個二維圖形，360°=720°。當我們讨論這個時，往往在頭腦中想象一個圓。事實上，這就是為什麼當讨論三維幾何圖形時，比如在天體物理學和量子計算科學（布洛赫球），兩個角比一個角更受歡迎的原因。
2. 電子的形狀并不完全是 "圓形 "或 "橢圓 "的。它們被認為是點狀物體，而且由于波粒二象性，電子的形狀往往是任意的。

對于更高級的讀者來說，這是因為量子态的旋轉算子可以表示為：

或者

對于電子的自旋，這就變成了：exp(-iθ/2)，其周期為θ=4π，因為隻有這樣，表達式才會變成exp(-2π*i)=1，這就是為什麼720°的轉動與360°的轉動不同！

自旋的量子化

因此，在讨論斯特恩-格拉赫實驗時，我們得出結論，電子在測量後隻能坍縮在兩個離散狀态中的一個，但為什麼會有這種離散性。這個問題的真正答案在于量子尺度效應的數學。

正如量子力學的核心——疊加、局域性和不确定性，理解其背後的直覺所指出的，量子尺度上的動量由p = h/λ表示，其中h是一個常數（被稱為普朗克常數，等于6.62607004×10^-34 m² kg/s）。結果是，内在角動量是所謂的普朗克常數的倍數，正好等于h/2π，或者我們說，自旋是以普朗克常數量化的。

為什麼會這樣，就物理意義而言？這個問題沒有答案；但事實上，我喜歡如何看待這個問題，因為量子态，它是複數，但複數（有一個非負的虛部）不是我們在自然界可以 "看到 "的。它們可以被用來描述自然，但不能“看”到自然。例如，你可以給一群猴子喂10根香蕉，但你永遠無法喂給它10 8i根香蕉。所以，當我們要測量這些向量時，隻能看到一個實數，也就是量子力學和線性代數世界中所謂的'特征向量'的特征值！這就是為什麼複數平面上的量子态在測量過程中必須坍縮到實數線上的一個點！ (注意：向量和複數這兩個詞在本文中是可以互換使用的）

我們可以總結出一個叫做自旋的量子特性。雖然自旋是一個即使在今天也沒有被物理學家完全理解的概念，但這篇文章為讀者提供了一些背景信息，以回答一些關于自旋的 "為什麼 "和 "如何"。我建議，讀完這篇文章後，你應該消化自旋存在的事實，除非有新的突破性研究為量子自旋的世界建立了新的見解，并為我們提供後續文章的内容。 在文章的最後，我還談到了測量的概念，以及它的重要性。我将在下一篇文章中更深入地探讨這個話題。

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