小學數學教材中蘊涵了幾種常見的數學思想方法，梳理一下，大概有以下七種：

1.歸納。

歸納是通過特例的分析引出普遍的結論。在研究一般性問題時，先研究幾個簡單、個别的、特殊的情況，從中概括出一般的規律和性質，這種由部分到整體、由特殊到一般的推理被稱為歸納。

小學數學中的有些數學問題是直接建立在類比之上的歸納，有些數學問題是建立在抽象分析之上的歸納。小學階段學生接觸較多的是不完全歸納推理。加法結合律，我們就采用了不完全歸納推理展開教學。例如，28個男生在跳繩，17個女生在跳繩，23個女生在踢毽子。求跳繩和踢毽子的一共有多少人，可以先求跳繩的人數列出算式（28 17） 23計算，也可以先求女生的人數列出算式28 （17 23）計算。這兩道算式的算理是等價的，得數也相同，因此可以寫成等式（28 17） 23=28 （17 23）。在這第一個實例中，學生看到的數學現象是不是普遍性的規律，需要在類似的情況中驗證。于是，我們讓學生分别算一算（45 25） 13和45 （25 13）、（36 18） 22和36 （18 22），看看每組的兩道算式是不是相等，兩道算式中間能不能填上等号，再看看這些相等的算式有什麼結構上的特點，猜想有這種結構特點的算式結果是否一定相等，通過實驗發現第一個實例中的數學現象在類似的情況中同樣存在。接着，鼓勵學生自己寫出類似的幾組算式，進行更多的驗證，體驗現象的普遍性。學生通過進行類似的實驗，在實驗中概括出加法結合律，并用字母a、b、c分别表示三個加數，寫成（a b） c= a （b c）。

這樣，學生在學習加法結合律等的過程中，就經曆了由具體到一般的抽象、概括過程，不僅可以發現數學規律、定理，而且能夠初步感受歸納的思想方法，使思維水平得到提升。

2.演繹。

演繹與歸納相反，是從普遍性結論或一般性的前提推出個别或特殊的結論。在研究個别問題時，以一般性的邏輯假設為基礎，推出特定結論，這種從一般到特殊的推理被稱為演繹。

在推理的形式合乎邏輯的條件下，應用演繹推理從真實的前提一定能推出真實的結論。例如，知道了“三角形的内角和是180°”的結論，我們讓學生據此推出或求出直角三角形兩個銳角的和是90°，推出或求出等腰直角三角形的兩個銳角都是45°。再如，通過歸納得到乘法分配律（a b）×c= a×c b×c以後，我們要求學生應用乘法分配律進行72×（30 6）、32×102、46×12 54×12、45×99 45等的簡便計算，在較多的計算活動中進一步體會乘法分配律的本質，提高靈活應用乘法分配律的能力。

學生像這樣根據已經獲得的定義、定律、公式等，去解決一個個具體的問題，通過這樣一些由一般向特殊的演繹使得抽象的數學概念、規律和原理具體化，從而促進知識的數學理解和掌握，發展推理能力和思維能力。

3.類比。

類比是由特殊到特殊的推理，具有假設、猜想的成分。同歸納一樣，類比是常用的一種合情推理。類比是立足在已有知識的基礎上，通過兩個（或兩類）及以上對象之間某些相同或相似的性質，由已經獲得的知識引出新的猜測，推斷它們在其他性質上的相同或相似。

運用類比的關鍵是尋找一個合适的類比對象（已經學過的知識或已有的方法經驗），需要溝通不同維度知識的内在聯系，它多發生在像整數的運算規律推廣到分數這樣由低維度向高維度知識的提升之處。例如，在教學“比的基本性質”時，我們先通過測量幾瓶液體的質量和體積的記錄，求出這幾瓶液體質量和體積的比的比值，并把比值相等的比寫成等式。再引導學生觀察這些等式，聯系分數的基本性質想一想，比會有什麼性質。學生大膽猜想，将比的前項、後項同時乘或除以相同的數（0除外），看看比值有沒有變化，進行驗證。

學生通過類比的方式，将分數的基本性質遷移、推廣到比的基本性質，不僅使所學的數學知識容易理解，更能感受到數學知識的連續性。

4.分類。

分類是以比較為基礎，按照數學研究對象本質屬性的相同點和差異，将數學對象分為不同的種類。

對數學對象的分類，必須科學、統一，每一次劃分時，分類的标準隻能是一個，不能交叉地使用幾個不同的标準，要使分類既不重複也不遺漏。例如，根據角的大小，三角形可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三類。再如，非零自然數，以約數的個數可以分為質數、合數和1三類，以是否是2的倍數則可以分為奇數和偶數兩類。

通過分類，學生可以體會和理解不同的分類标準會有不同的分類結果，從而産生新的數學概念和數學知識的結構，使所學的數學知識條理化。

5.轉化。

數學知識是一個整體，它的各部分之間相互聯系，有時也可以相互轉化。轉化可以将數的一種形式轉化為另一種形式，一種運算轉化為另一種運算，一個關系轉化為另一個關系，一個量轉化為另一個量，一種圖形轉化為另一種或幾種圖形，使一種對象在一定條件下轉變為另一種研究對象。

為了有利于學生學習和研究，我們注意将新知識轉化成學生已經學過的知識，将較為複雜的問題轉化成比較簡單的問題，例如把小數乘法的計算轉化為整數乘法的計算，把分數除法的計算轉化為分數乘法的計算，把不規則圖形的面積計算轉化成規則圖形的面積計算。實際上，除了長方形的面積計算公式之外，其他平面圖形面積計算公式的推導，我們都是通過變換原來的平面圖形，幫助學生把對“新”圖形的認知轉化成對“舊”圖形的改造與提升，在“新”“舊”知識的聯系中尋找到解決“新”知的方法。研究平行四邊形面積的計算時，我們把一個平行四邊形“剪”“拼”轉化成長方形來計算面積；研究三角形、梯形面積的計算時，我們把兩個相同的三角形、兩個相同的梯形分别拼成一個平行四邊形來計算面積；研究圓面積的計算時，我們把一個圓平均分成16、32、64份，剪開後拼成一個近似的平行四邊形，并由此想象無限細分下去，拼成的圖形就接近于長方形，可以通過拼成的長方形來計算面積。這樣，就将原來的圖形通過剪、拼等途徑加以“變形”，化難為易。

不僅如此，我們還專設一個單元教學用轉化的策略解決實際問題，凸顯轉化在數學學習中的地位，幫助學生進一步體會轉化思想方法的價值。

6.符号化。

符号是人類文明發展的重要标志之一，而數學的基本語言就是文字語言、圖像語言和符号語言，其中最具數學學科特點的是符号語言。實現符号化，需要經曆“具體—表象—抽象—符号化”的過程。

把客觀現實中存在的事物和現象以及它們之間的相互關系抽象概括為數學符号和公式，不僅要把實際問題用數學符号表達出來，而且要充分把握每個數學符号所蘊涵的豐富内涵和實際意義，這對于小學生來說，并不是一件容易的事，必須逐步地提高他們的抽象概括水平。我們從一年級就開始用“ □ ”或“（ ）”代替具體的數乃至變量，讓學生在2 （ ）= 10、8 □=15、□>42>□等算式中填上合适的數，引導學生聯系自己身邊的事物，通過觀察、操作等活動，初步感受符号的意義，逐步體會用符号表示數的作用。

在四年級教學平面圖形的面積公式時，我們不僅引導學生歸納出面積計算公式，還用字母表示，引導學生體會用字母表示計算公式的簡便和優越。教學加法和乘法運算律時，鑒于學生對符号有了比較充分的認識，就不再用純文字的形式而直接用含有字母的式子表示這些定律，不僅使得規律的表達更加準确、簡明、形象，更便于學生掌握，而且也使學生感受到用字母表示定律的意義。

到了五年級，學生開始正式學習用字母表示數，從研究一個具體特定的數到用字母表示一般的數，初學時會感到困難，又引導他們經曆用字母表示數的抽象與概括過程，初步學習并理解用含有字母的式子表示數量關系，體會符号化的簡潔與準确，不僅為列方程解決實際問題做好準備，更為進入中學後代數等知識的學習打好基礎。

7.數形結合。

數學是研究數量關系和空間形式的科學，數形結合就是根據數量與圖形之間的關系，借助“形”的直觀來表達數量關系，運用“數”來刻畫、研究形，把抽象的數學語言、數量關系與直觀的幾何圖形、位置關系結合起來考慮，通過“以形助數”或“以數解形”使抽象思維與形象思維結合起來，将複雜問題簡單化，抽象問題具體化，達到解決問題的目的。

根據知識的特點和小學生的思維發展水平，我們主要通過線段圖、長方形面積圖、樹形圖等，把一定的數量關系形象直觀地表達出來，幫助學生從圖形的直觀特征中發現數量之間存在的聯系，以形助數來化隐為顯、化難為易。例如，“一條褲子28元，上衣的價錢是褲子的3倍”，求買一套衣服要多少元，題裡隻有兩個已知條件，其中一個條件“28元”在解題時要連續使用兩次，三年級學生理解時有一定的困難。我們引導學生畫線段圖幫助理解題意，研究數量之間的關系。根據這幾種畫法，很容易想到求這一套衣服的價錢隻要把褲子的價錢加上上衣的價錢，上衣的價錢（28元的3倍）還不知道，需要先算出來。特别是根據後兩種畫法，學生還會想到這一套衣服的價錢就是上衣的價錢（28元）的（1＋3）倍，探索出解決這一實際問題的不同方法。

在幫助學生從圖形的直觀特征中發現數量之間的關系，以形助數來解決實際問題的基礎上，我們開始初步滲透數形結合的思想方法，主要是通過認識小數、分數和負數的教學，讓學生在數軸上填數，在數軸上找出相對應的數，幫助他們在數與形的這一次重要碰撞中更好地體會數軸上的點與數之間的一一對應關系，初步體會數與形的結合；通過用數對表示位置的教學，讓學生在平面圖上用數對表示物體的位置，說出平面圖上數對所在地點表示的物體，幫助他們體會平面上的點與數對之間的一一對應關系；通過正比例圖像的教學，讓學生體會正比例關系的圖像是一條直線，同時，利用圖像根據其中一個量的值估計另一個量的值，既将抽象的數學概念、數量關系直觀化和形象化，又借助形象的圖像來理解抽象的正比例關系問題，努力使學生抽象思維和形象思維的發展結合起來。

在小學數學教材中，我們還蘊涵了函數、集合、統計等現代數學思想。有關這方面的讨論較多，限于篇幅，不再贅述。

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