約翰·卡爾·弗裡德裡希·高斯

19歲的高斯尺規做出正十七邊形的傳說：

1796年的一天，德國哥廷根大學，一個很有數學天賦的19歲青年吃完晚飯，開始做導師單獨布置給他的每天例行的三道數學題。 前兩道題在兩個小時内就順利完成了。第三道題寫在另一張小紙條上：要求隻用圓規和一把沒有刻度的直尺，畫出一個正17邊形。

他感到非常吃力。時間一分一秒的過去了，第三道題竟毫無進展。這位青年絞盡腦汁，但他發現，自己學過的所有數學知識似乎對解開這道題都沒有任何幫助。

困難反而激起了他的鬥志：我一定要把它做出來！他拿起圓規和直尺，他一邊思索一邊在紙上畫着，嘗試着用一些超常規的思路去尋求答案。 當窗口露出曙光時，青年長舒了一口氣，他終于完成了這道難題。

正十七邊形

見到導師時，青年有些内疚和自責。他對導師說：“您給我布置的第三道題，我竟然做了整整一個通宵，我辜負了您對我的栽培……” 導師接過學生的作業一看，當即驚呆了。他用顫抖的聲音對青年說：“這是你自己做出來的嗎？”青年有些疑惑地看着導師，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一個通宵。”

導師請他坐下，取出圓規和直尺，在書桌上鋪開紙，讓他當着自己的面再做出一個正17邊形。 青年很快做出了一上正17邊形。導師激動地對他說：“你知不知道？你解開了一樁有兩千多年曆史的數學懸案！阿基米德沒有解決，牛頓也沒有解決，你竟然一個晚上就解出來了。你是一個真正的天才！”

原來，導師也一直想解開這道難題。那天，他是因為失誤，才将寫有這道題目的紙條交給了學生。 每當這位青年回憶起這一幕時，總是說：“如果有人告訴我，這是一道有兩千多年曆史的數學難題，我可能永遠也沒有信心将它解出來。” 這位青年就是數學王子高斯。

1828年高斯肖像

高斯當年并沒有去畫正十七邊形 而是證明了哪些正多邊形可以尺規作圖

尺規作圖的過程全部蘊含在代數式裡了。

正十七邊形的代數表示形式

首先随便畫一條直線，這條直線的作用是記錄，記錄你作出過的所有長度。

圓規能夠量取已經存在(已經做出線段)的所有長度，在哪量不是量，這條直線不管怎麼樣都是隐式存在的。

引理:記錄器

記錄器

引理:除法器

雖然N等分點相當于除以個整數,但是要獲得更強大的除法計算能力就要構建除法器了。

除法器

引理:開根器

雖然勾股定理能開根，但是勾股定理有個局限性就是要求兩條線段直角，對于單一的線段就隻能使用開根器了。

開根器

反複使用記錄器,加法器,除法器,開根器就能計算出一條長度正好為：

然後找出圓心角和所對弦的關系:

圓心角和所對弦的關系

所以

所對的圓心角就是

于是隻要這麼一個圓一個圓的接下去就能得到正17邊形的所有點了，連起來即得正17邊形。

組裝過程顯然有很多種，有往外組裝，有向内組裝，最終組裝完的軌迹圖形:

組裝完的樣子

組裝動圖展示：

組裝過程

根據Duane W. DeTemple與Carlyle園 描述

使用直尺和圓規作十七邊形的另一種方法如下：

另一種尺規作圖

當年19年的高斯不會簡簡單單用尺規畫出正十七邊形，而是證明了更加深入本質的理論

由此可以得出最終的本質理論：多邊形尺規作圖問題等價于

是否能用二次根式表達。

小結：1801年數學家高斯證明：如果費馬數k為質數，那麼就可以用直尺和圓規将圓周k等分。但是高斯本人并沒有用尺規做出正十七邊形，事實上，完成證明之後正十七邊形的做法對數學研究者是顯而易見的。第一個真正的正十七邊形尺規作圖法是在1825年由約翰尼斯·厄欽格（Johannes Erchinger）給出的。

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